Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34194 / 32722
↖ ↑ ↗
← N  0.252685°
E  7.833252°		 ← 610.78 m → N  0.252685°
E  7.838745°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.247192°
E  7.833252°		 ← 610.78 m →
373 058 m²		 N  0.247192°
E  7.838745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521766662597656 y=0.499305725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521766662597656 × 216)
    floor (0.521766662597656 × 65536)
    floor (34194.5)     		tx = 34194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499305725097656 × 216)
    floor (0.499305725097656 × 65536)
    floor (32722.5)     		ty = 32722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34194 / 32722 ti = "16/34194/32722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34194/32722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34194 ÷ 216
    34194 ÷ 65536     		x = 0.521759033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32722 ÷ 216
    32722 ÷ 65536     		y = 0.499298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521759033203125 × 2 - 1) × π
    0.04351806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13671604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499298095703125 × 2 - 1) × π
    0.00140380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00441019476504517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13671604} λ = 0.13671604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00441019476504517))-π/2
    2×atan(1.004419933986)-π/2
    2×0.787603253631882-π/2
    1.57520650726376-1.57079632675     		φ = 0.00441018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13671604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.833252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00441018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.252685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34194 KachelY 32722 0.13671604 0.00441018 7.833252 0.252685
    Oben rechts KachelX + 1 34195 KachelY 32722 0.13681191 0.00441018 7.838745 0.252685
    Unten links KachelX 34194 KachelY + 1 32723 0.13671604 0.00431431 7.833252 0.247192
    Unten rechts KachelX + 1 34195 KachelY + 1 32723 0.13681191 0.00431431 7.838745 0.247192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00441018-0.00431431) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00441018-0.00431431) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13671604-0.13681191) × cos(0.00441018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999990275171946 × 6371000     		do = 610.781830193946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13671604-0.13681191) × cos(0.00431431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999990693379048 × 6371000     		du = 610.782085629729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00441018)-sin(0.00431431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999990275171946-0.999990693379048)×R²
    abs(0.13681191-0.13671604)×4.18207101615664e-07×R²
    9.58699999999979e-05×4.18207101615664e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18207101615664e-07×40589641000000     		ar = 373058.150314936m²