Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34184 / 32712
↖ ↑ ↗
← N  0.307616°
E  7.778320°		 ← 610.78 m → N  0.307616°
E  7.783813°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.302122°
E  7.778320°		 ← 610.78 m →
373 095 m²		 N  0.302122°
E  7.783813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521614074707031 y=0.499153137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521614074707031 × 216)
    floor (0.521614074707031 × 65536)
    floor (34184.5)     		tx = 34184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499153137207031 × 216)
    floor (0.499153137207031 × 65536)
    floor (32712.5)     		ty = 32712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34184 / 32712 ti = "16/34184/32712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34184/32712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34184 ÷ 216
    34184 ÷ 65536     		x = 0.5216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32712 ÷ 216
    32712 ÷ 65536     		y = 0.4991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5216064453125 × 2 - 1) × π
    0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4991455078125 × 2 - 1) × π
    0.001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13575730} λ = 0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00536893275744629))-π/2
    2×atan(1.00538337130522)-π/2
    2×0.788082616879444-π/2
    1.57616523375889-1.57079632675     		φ = 0.00536891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00536891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.307616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34184 KachelY 32712 0.13575730 0.00536891 7.778320 0.307616
    Oben rechts KachelX + 1 34185 KachelY 32712 0.13585317 0.00536891 7.783813 0.307616
    Unten links KachelX 34184 KachelY + 1 32713 0.13575730 0.00527303 7.778320 0.302122
    Unten rechts KachelX + 1 34185 KachelY + 1 32713 0.13585317 0.00527303 7.783813 0.302122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00536891-0.00527303) × R
    9.58800000000004e-05 × 6371000     		dl = 610.851480000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00536891-0.00527303) × R
    9.58800000000004e-05 × 6371000     		dr = 610.851480000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13575730-0.13585317) × cos(0.00536891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999985587437326 × 6371000     		do = 610.778966982971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13575730-0.13585317) × cos(0.00527303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999986097609522 × 6371000     		du = 610.779278589909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00536891)-sin(0.00527303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999985587437326-0.999986097609522)×R²
    abs(0.13585317-0.13575730)×5.10172195933301e-07×R²
    9.58699999999979e-05×5.10172195933301e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.10172195933301e-07×40589641000000     		ar = 373095.331393024m²