Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34159 / 32750
↖ ↑ ↗
← N  0.098877°
E  7.640991°		 ← 610.85 m → N  0.098877°
E  7.646484°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.093384°
E  7.640991°		 ← 610.85 m →
373 139 m²		 N  0.093384°
E  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521232604980469 y=0.499732971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521232604980469 × 216)
    floor (0.521232604980469 × 65536)
    floor (34159.5)     		tx = 34159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499732971191406 × 216)
    floor (0.499732971191406 × 65536)
    floor (32750.5)     		ty = 32750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34159 / 32750 ti = "16/34159/32750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34159/32750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34159 ÷ 216
    34159 ÷ 65536     		x = 0.521224975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32750 ÷ 216
    32750 ÷ 65536     		y = 0.499725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521224975585938 × 2 - 1) × π
    0.042449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13336045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499725341796875 × 2 - 1) × π
    0.00054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00172572838632202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13336045} λ = 0.13336045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00172572838632202))-π/2
    2×atan(1.0017272183125)-π/2
    2×0.786261027162321-π/2
    1.57252205432464-1.57079632675     		φ = 0.00172573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13336045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.640991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00172573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.098877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34159 KachelY 32750 0.13336045 0.00172573 7.640991 0.098877
    Oben rechts KachelX + 1 34160 KachelY 32750 0.13345633 0.00172573 7.646484 0.098877
    Unten links KachelX 34159 KachelY + 1 32751 0.13336045 0.00162985 7.640991 0.093384
    Unten rechts KachelX + 1 34160 KachelY + 1 32751 0.13345633 0.00162985 7.646484 0.093384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00172573-0.00162985) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00172573-0.00162985) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13336045-0.13345633) × cos(0.00172573) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999998510928353 × 6371000     		do = 610.850570398511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13336045-0.13345633) × cos(0.00162985) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999998671794783 × 6371000     		du = 610.850668664007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00172573)-sin(0.00162985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998510928353-0.999998671794783)×R²
    abs(0.13345633-0.13336045)×1.60866429621542e-07×R²
    9.58800000000204e-05×1.60866429621542e-07×6371000²
    9.58800000000204e-05×1.60866429621542e-07×40589641000000     		ar = 373139.005285442m²