Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34156 / 32748
↖ ↑ ↗
← N  0.109863°
E  7.624512°		 ← 610.85 m → N  0.109863°
E  7.630005°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.104370°
E  7.624512°		 ← 610.85 m →
373 100 m²		 N  0.104370°
E  7.630005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521186828613281 y=0.499702453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521186828613281 × 216)
    floor (0.521186828613281 × 65536)
    floor (34156.5)     		tx = 34156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499702453613281 × 216)
    floor (0.499702453613281 × 65536)
    floor (32748.5)     		ty = 32748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34156 / 32748 ti = "16/34156/32748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34156/32748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34156 ÷ 216
    34156 ÷ 65536     		x = 0.52117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32748 ÷ 216
    32748 ÷ 65536     		y = 0.49969482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52117919921875 × 2 - 1) × π
    0.0423583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13307283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49969482421875 × 2 - 1) × π
    0.0006103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00191747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13307283} λ = 0.13307283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00191747598480225))-π/2
    2×atan(1.00191931551744)-π/2
    2×0.786356900802349-π/2
    1.5727138016047-1.57079632675     		φ = 0.00191747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13307283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.624512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00191747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.109863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34156 KachelY 32748 0.13307283 0.00191747 7.624512 0.109863
    Oben rechts KachelX + 1 34157 KachelY 32748 0.13316871 0.00191747 7.630005 0.109863
    Unten links KachelX 34156 KachelY + 1 32749 0.13307283 0.00182160 7.624512 0.104370
    Unten rechts KachelX + 1 34157 KachelY + 1 32749 0.13316871 0.00182160 7.630005 0.104370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00191747-0.00182160) × R
    9.58699999999999e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00191747-0.00182160) × R
    9.58699999999999e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13307283-0.13316871) × cos(0.00191747) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999998161654963 × 6371000     		do = 610.850357044166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13307283-0.13316871) × cos(0.00182160) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999998340887179 × 6371000     		du = 610.850466528431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00191747)-sin(0.00182160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998161654963-0.999998340887179)×R²
    abs(0.13316871-0.13307283)×1.79232215957725e-07×R²
    9.58799999999926e-05×1.79232215957725e-07×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.79232215957725e-07×40589641000000     		ar = 373099.9611043m²