Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34153 / 32743
↖ ↑ ↗
← N  0.137329°
E  7.608032°		 ← 610.85 m → N  0.137329°
E  7.613526°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.131836°
E  7.608032°		 ← 610.85 m →
373 100 m²		 N  0.131836°
E  7.613526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521141052246094 y=0.499626159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521141052246094 × 216)
    floor (0.521141052246094 × 65536)
    floor (34153.5)     		tx = 34153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499626159667969 × 216)
    floor (0.499626159667969 × 65536)
    floor (32743.5)     		ty = 32743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34153 / 32743 ti = "16/34153/32743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34153/32743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34153 ÷ 216
    34153 ÷ 65536     		x = 0.521133422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32743 ÷ 216
    32743 ÷ 65536     		y = 0.499618530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521133422851562 × 2 - 1) × π
    0.042266845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13278521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499618530273438 × 2 - 1) × π
    0.000762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00239684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13278521} λ = 0.13278521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00239684498100281))-π/2
    2×atan(1.00239971971024)-π/2
    2×0.786596584740489-π/2
    1.57319316948098-1.57079632675     		φ = 0.00239684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13278521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.608032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00239684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.137329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34153 KachelY 32743 0.13278521 0.00239684 7.608032 0.137329
    Oben rechts KachelX + 1 34154 KachelY 32743 0.13288109 0.00239684 7.613526 0.137329
    Unten links KachelX 34153 KachelY + 1 32744 0.13278521 0.00230097 7.608032 0.131836
    Unten rechts KachelX + 1 34154 KachelY + 1 32744 0.13288109 0.00230097 7.613526 0.131836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00239684-0.00230097) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00239684-0.00230097) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13278521-0.13288109) × cos(0.00239684) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999997127580382 × 6371000     		do = 610.849725378355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13278521-0.13288109) × cos(0.00230097) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999997352769697 × 6371000     		du = 610.849862935582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00239684)-sin(0.00230097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999997127580382-0.999997352769697)×R²
    abs(0.13288109-0.13278521)×2.25189315194996e-07×R²
    9.58800000000204e-05×2.25189315194996e-07×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.25189315194996e-07×40589641000000     		ar = 373099.58386386m²