Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34150 / 33054
↖ ↑ ↗
← S  1.570848°
E  7.591553°		 ← 610.56 m → S  1.570848°
E  7.597046°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.576339°
E  7.591553°		 ← 610.56 m →
372 804 m²		 S  1.576339°
E  7.597046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521095275878906 y=0.504371643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521095275878906 × 216)
    floor (0.521095275878906 × 65536)
    floor (34150.5)     		tx = 34150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504371643066406 × 216)
    floor (0.504371643066406 × 65536)
    floor (33054.5)     		ty = 33054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34150 / 33054 ti = "16/34150/33054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34150/33054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34150 ÷ 216
    34150 ÷ 65536     		x = 0.521087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33054 ÷ 216
    33054 ÷ 65536     		y = 0.504364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521087646484375 × 2 - 1) × π
    0.04217529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13249759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.00872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0274199065826721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13249759} λ = 0.13249759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0274199065826721))-π/2
    2×atan(0.972952606531969)-π/2
    2×0.771689927757582-π/2
    1.54337985551516-1.57079632675     		φ = -0.02741647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13249759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.591553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02741647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.570848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34150 KachelY 33054 0.13249759 -0.02741647 7.591553 -1.570848
    Oben rechts KachelX + 1 34151 KachelY 33054 0.13259346 -0.02741647 7.597046 -1.570848
    Unten links KachelX 34150 KachelY + 1 33055 0.13249759 -0.02751231 7.591553 -1.576339
    Unten rechts KachelX + 1 34151 KachelY + 1 33055 0.13259346 -0.02751231 7.597046 -1.576339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02741647--0.02751231) × R
    9.58400000000033e-05 × 6371000     		dl = 610.596640000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02741647--0.02751231) × R
    9.58400000000033e-05 × 6371000     		dr = 610.596640000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13249759-0.13259346) × cos(-0.02741647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999624192127322 × 6371000     		do = 610.558231147485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13249759-0.13259346) × cos(-0.02751231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999621560271079 × 6371000     		du = 610.55662364188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02741647)-sin(-0.02751231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999624192127322-0.999621560271079)×R²
    abs(0.13259346-0.13249759)×2.63185624249651e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.63185624249651e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.63185624249651e-06×40589641000000     		ar = 372804.31397961m²