Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34148 / 33058
↖ ↑ ↗
← S  1.592812°
E  7.580566°		 ← 610.62 m → S  1.592812°
E  7.586060°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.598304°
E  7.580566°		 ← 610.61 m →
372 839 m²		 S  1.598304°
E  7.586060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521064758300781 y=0.504432678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521064758300781 × 216)
    floor (0.521064758300781 × 65536)
    floor (34148.5)     		tx = 34148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504432678222656 × 216)
    floor (0.504432678222656 × 65536)
    floor (33058.5)     		ty = 33058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34148 / 33058 ti = "16/34148/33058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34148/33058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34148 ÷ 216
    34148 ÷ 65536     		x = 0.52105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33058 ÷ 216
    33058 ÷ 65536     		y = 0.504425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52105712890625 × 2 - 1) × π
    0.0421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13230584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.00885009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0278034017796326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13230584} λ = 0.13230584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0278034017796326))-π/2
    2×atan(0.972579555416721)-π/2
    2×0.771498253231577-π/2
    1.54299650646315-1.57079632675     		φ = -0.02779982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13230584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.580566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02779982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.592812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34148 KachelY 33058 0.13230584 -0.02779982 7.580566 -1.592812
    Oben rechts KachelX + 1 34149 KachelY 33058 0.13240172 -0.02779982 7.586060 -1.592812
    Unten links KachelX 34148 KachelY + 1 33059 0.13230584 -0.02789566 7.580566 -1.598304
    Unten rechts KachelX + 1 34149 KachelY + 1 33059 0.13240172 -0.02789566 7.586060 -1.598304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02779982--0.02789566) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02779982--0.02789566) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13230584-0.13240172) × cos(-0.02779982) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999613609889434 × 6371000     		do = 610.615453029057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13230584-0.13240172) × cos(-0.02789566) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999610941306978 × 6371000     		du = 610.613822921514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02779982)-sin(-0.02789566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999613609889434-0.999610941306978)×R²
    abs(0.13240172-0.13230584)×2.66858245656643e-06×R²
    9.58799999999926e-05×2.66858245656643e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.66858245656643e-06×40589641000000     		ar = 372839.246567914m²