Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34148 / 32739
↖ ↑ ↗
← N  0.159302°
E  7.580566°		 ← 610.85 m → N  0.159302°
E  7.586060°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.153808°
E  7.580566°		 ← 610.85 m →
373 138 m²		 N  0.153808°
E  7.586060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521064758300781 y=0.499565124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521064758300781 × 216)
    floor (0.521064758300781 × 65536)
    floor (34148.5)     		tx = 34148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499565124511719 × 216)
    floor (0.499565124511719 × 65536)
    floor (32739.5)     		ty = 32739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34148 / 32739 ti = "16/34148/32739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34148/32739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34148 ÷ 216
    34148 ÷ 65536     		x = 0.52105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32739 ÷ 216
    32739 ÷ 65536     		y = 0.499557495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52105712890625 × 2 - 1) × π
    0.0421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13230584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499557495117188 × 2 - 1) × π
    0.000885009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00278034017796326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13230584} λ = 0.13230584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00278034017796326))-π/2
    2×atan(1.00278420890835)-π/2
    2×0.786788331695363-π/2
    1.57357666339073-1.57079632675     		φ = 0.00278034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13230584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.580566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00278034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.159302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34148 KachelY 32739 0.13230584 0.00278034 7.580566 0.159302
    Oben rechts KachelX + 1 34149 KachelY 32739 0.13240172 0.00278034 7.586060 0.159302
    Unten links KachelX 34148 KachelY + 1 32740 0.13230584 0.00268446 7.580566 0.153808
    Unten rechts KachelX + 1 34149 KachelY + 1 32740 0.13240172 0.00268446 7.586060 0.153808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00278034-0.00268446) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00278034-0.00268446) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13230584-0.13240172) × cos(0.00278034) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999996134857232 × 6371000     		do = 610.849118971773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13230584-0.13240172) × cos(0.00268446) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999996396839418 × 6371000     		du = 610.849279003979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00278034)-sin(0.00268446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999996134857232-0.999996396839418)×R²
    abs(0.13240172-0.13230584)×2.61982185945087e-07×R²
    9.58799999999926e-05×2.61982185945087e-07×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.61982185945087e-07×40589641000000     		ar = 373138.137544413m²