Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34147 / 32995
↖ ↑ ↗
← S  1.246850°
E  7.575073°		 ← 610.64 m → S  1.246850°
E  7.580566°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  1.252342°
E  7.575073°		 ← 610.64 m →
372 934 m²		 S  1.252342°
E  7.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521049499511719 y=0.503471374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521049499511719 × 216)
    floor (0.521049499511719 × 65536)
    floor (34147.5)     		tx = 34147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503471374511719 × 216)
    floor (0.503471374511719 × 65536)
    floor (32995.5)     		ty = 32995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34147 / 32995 ti = "16/34147/32995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34147/32995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34147 ÷ 216
    34147 ÷ 65536     		x = 0.521041870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32995 ÷ 216
    32995 ÷ 65536     		y = 0.503463745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521041870117188 × 2 - 1) × π
    0.042083740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13220997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503463745117188 × 2 - 1) × π
    -0.006927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0217633524275055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13220997} λ = 0.13220997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0217633524275055))-π/2
    2×atan(0.978471760622053)-π/2
    2×0.774517346087878-π/2
    1.54903469217576-1.57079632675     		φ = -0.02176163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13220997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.575073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02176163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.246850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34147 KachelY 32995 0.13220997 -0.02176163 7.575073 -1.246850
    Oben rechts KachelX + 1 34148 KachelY 32995 0.13230584 -0.02176163 7.580566 -1.246850
    Unten links KachelX 34147 KachelY + 1 32996 0.13220997 -0.02185749 7.575073 -1.252342
    Unten rechts KachelX + 1 34148 KachelY + 1 32996 0.13230584 -0.02185749 7.580566 -1.252342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02176163--0.02185749) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02176163--0.02185749) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13220997-0.13230584) × cos(-0.02176163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999763225074189 × 6371000     		do = 610.643150771059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13220997-0.13230584) × cos(-0.02185749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999761134575504 × 6371000     		du = 610.641873920029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02176163)-sin(-0.02185749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999763225074189-0.999761134575504)×R²
    abs(0.13230584-0.13220997)×2.09049868493683e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.09049868493683e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09049868493683e-06×40589641000000     		ar = 372934.074633853m²