Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34146 / 32991
↖ ↑ ↗
← S  1.224882°
E  7.569580°		 ← 610.65 m → S  1.224882°
E  7.575073°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.230374°
E  7.569580°		 ← 610.65 m →
372 898 m²		 S  1.230374°
E  7.575073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521034240722656 y=0.503410339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521034240722656 × 216)
    floor (0.521034240722656 × 65536)
    floor (34146.5)     		tx = 34146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503410339355469 × 216)
    floor (0.503410339355469 × 65536)
    floor (32991.5)     		ty = 32991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34146 / 32991 ti = "16/34146/32991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34146/32991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34146 ÷ 216
    34146 ÷ 65536     		x = 0.521026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32991 ÷ 216
    32991 ÷ 65536     		y = 0.503402709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521026611328125 × 2 - 1) × π
    0.04205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13211410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503402709960938 × 2 - 1) × π
    -0.006805419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.021379857230545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13211410} λ = 0.13211410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.021379857230545))-π/2
    2×atan(0.978847071803031)-π/2
    2×0.774709049080482-π/2
    1.54941809816096-1.57079632675     		φ = -0.02137823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13211410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02137823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.224882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34146 KachelY 32991 0.13211410 -0.02137823 7.569580 -1.224882
    Oben rechts KachelX + 1 34147 KachelY 32991 0.13220997 -0.02137823 7.575073 -1.224882
    Unten links KachelX 34146 KachelY + 1 32992 0.13211410 -0.02147408 7.569580 -1.230374
    Unten rechts KachelX + 1 34147 KachelY + 1 32992 0.13220997 -0.02147408 7.575073 -1.230374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02137823--0.02147408) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02137823--0.02147408) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13211410-0.13220997) × cos(-0.02137823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999771494344036 × 6371000     		do = 610.648201539948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13211410-0.13220997) × cos(-0.02147408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999769440804212 × 6371000     		du = 610.646947262938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02137823)-sin(-0.02147408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999771494344036-0.999769440804212)×R²
    abs(0.13220997-0.13211410)×2.05353982429823e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.05353982429823e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05353982429823e-06×40589641000000     		ar = 372898.261796123m²