Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34143 / 32607
↖ ↑ ↗
← N  0.884364°
E  7.553100°		 ← 610.78 m → N  0.884364°
E  7.558594°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
N  0.878872°
E  7.553100°		 ← 610.78 m →
373 018 m²		 N  0.878872°
E  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520988464355469 y=0.497550964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520988464355469 × 216)
    floor (0.520988464355469 × 65536)
    floor (34143.5)     		tx = 34143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497550964355469 × 216)
    floor (0.497550964355469 × 65536)
    floor (32607.5)     		ty = 32607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34143 / 32607 ti = "16/34143/32607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34143/32607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34143 ÷ 216
    34143 ÷ 65536     		x = 0.520980834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32607 ÷ 216
    32607 ÷ 65536     		y = 0.497543334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520980834960938 × 2 - 1) × π
    0.041961669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13182647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497543334960938 × 2 - 1) × π
    0.004913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0154356816776581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13182647} λ = 0.13182647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0154356816776581))-π/2
    2×atan(1.01555542713635)-π/2
    2×0.793115697778726-π/2
    1.58623139555745-1.57079632675     		φ = 0.01543507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13182647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.553100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01543507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.884364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34143 KachelY 32607 0.13182647 0.01543507 7.553100 0.884364
    Oben rechts KachelX + 1 34144 KachelY 32607 0.13192235 0.01543507 7.558594 0.884364
    Unten links KachelX 34143 KachelY + 1 32608 0.13182647 0.01533921 7.553100 0.878872
    Unten rechts KachelX + 1 34144 KachelY + 1 32608 0.13192235 0.01533921 7.558594 0.878872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01543507-0.01533921) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01543507-0.01533921) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13182647-0.13192235) × cos(0.01543507) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999880881671985 × 6371000     		do = 610.77871639299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13182647-0.13192235) × cos(0.01533921) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999882356625021 × 6371000     		du = 610.779617370235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01543507)-sin(0.01533921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999880881671985-0.999882356625021)×R²
    abs(0.13192235-0.13182647)×1.47495303559619e-06×R²
    9.58799999999926e-05×1.47495303559619e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.47495303559619e-06×40589641000000     		ar = 373017.532847002m²