Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34142 / 33046
↖ ↑ ↗
← S  1.526919°
E  7.547607°		 ← 610.57 m → S  1.526919°
E  7.553100°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.532410°
E  7.547607°		 ← 610.57 m →
372 812 m²		 S  1.532410°
E  7.553100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520973205566406 y=0.504249572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520973205566406 × 216)
    floor (0.520973205566406 × 65536)
    floor (34142.5)     		tx = 34142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504249572753906 × 216)
    floor (0.504249572753906 × 65536)
    floor (33046.5)     		ty = 33046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34142 / 33046 ti = "16/34142/33046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34142/33046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34142 ÷ 216
    34142 ÷ 65536     		x = 0.520965576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33046 ÷ 216
    33046 ÷ 65536     		y = 0.504241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520965576171875 × 2 - 1) × π
    0.04193115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13173060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504241943359375 × 2 - 1) × π
    -0.00848388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0266529161887512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13173060} λ = 0.13173060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0266529161887512))-π/2
    2×atan(0.973699138089589)-π/2
    2×0.772073282826566-π/2
    1.54414656565313-1.57079632675     		φ = -0.02664976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13173060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.547607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02664976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.526919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34142 KachelY 33046 0.13173060 -0.02664976 7.547607 -1.526919
    Oben rechts KachelX + 1 34143 KachelY 33046 0.13182647 -0.02664976 7.553100 -1.526919
    Unten links KachelX 34142 KachelY + 1 33047 0.13173060 -0.02674560 7.547607 -1.532410
    Unten rechts KachelX + 1 34143 KachelY + 1 33047 0.13182647 -0.02674560 7.553100 -1.532410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02664976--0.02674560) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02664976--0.02674560) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13173060-0.13182647) × cos(-0.02664976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99964491616205 × 6371000     		do = 610.570889134442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13173060-0.13182647) × cos(-0.02674560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999642357760349 × 6371000     		du = 610.569326493972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02664976)-sin(-0.02674560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99964491616205-0.999642357760349)×R²
    abs(0.13182647-0.13173060)×2.5584017012692e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.5584017012692e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.5584017012692e-06×40589641000000     		ar = 372812.056601153m²