Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34142 / 32750
↖ ↑ ↗
← N  0.098877°
E  7.547607°		 ← 610.79 m → N  0.098877°
E  7.553100°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.093384°
E  7.547607°		 ← 610.79 m →
373 100 m²		 N  0.093384°
E  7.553100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520973205566406 y=0.499732971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520973205566406 × 216)
    floor (0.520973205566406 × 65536)
    floor (34142.5)     		tx = 34142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499732971191406 × 216)
    floor (0.499732971191406 × 65536)
    floor (32750.5)     		ty = 32750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34142 / 32750 ti = "16/34142/32750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34142/32750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34142 ÷ 216
    34142 ÷ 65536     		x = 0.520965576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32750 ÷ 216
    32750 ÷ 65536     		y = 0.499725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520965576171875 × 2 - 1) × π
    0.04193115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13173060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499725341796875 × 2 - 1) × π
    0.00054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00172572838632202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13173060} λ = 0.13173060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00172572838632202))-π/2
    2×atan(1.0017272183125)-π/2
    2×0.786261027162321-π/2
    1.57252205432464-1.57079632675     		φ = 0.00172573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13173060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.547607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00172573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.098877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34142 KachelY 32750 0.13173060 0.00172573 7.547607 0.098877
    Oben rechts KachelX + 1 34143 KachelY 32750 0.13182647 0.00172573 7.553100 0.098877
    Unten links KachelX 34142 KachelY + 1 32751 0.13173060 0.00162985 7.547607 0.093384
    Unten rechts KachelX + 1 34143 KachelY + 1 32751 0.13182647 0.00162985 7.553100 0.093384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00172573-0.00162985) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00172573-0.00162985) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13173060-0.13182647) × cos(0.00172573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999998510928353 × 6371000     		do = 610.786860493236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13173060-0.13182647) × cos(0.00162985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999998671794783 × 6371000     		du = 610.786958748484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00172573)-sin(0.00162985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998510928353-0.999998671794783)×R²
    abs(0.13182647-0.13173060)×1.60866429621542e-07×R²
    9.58699999999979e-05×1.60866429621542e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60866429621542e-07×40589641000000     		ar = 373100.087992354m²