Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34138 / 33062
↖ ↑ ↗
← S  1.614777°
E  7.525634°		 ← 610.61 m → S  1.614777°
E  7.531128°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.620267°
E  7.525634°		 ← 610.61 m →
372 796 m²		 S  1.620267°
E  7.531128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520912170410156 y=0.504493713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520912170410156 × 216)
    floor (0.520912170410156 × 65536)
    floor (34138.5)     		tx = 34138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504493713378906 × 216)
    floor (0.504493713378906 × 65536)
    floor (33062.5)     		ty = 33062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34138 / 33062 ti = "16/34138/33062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34138/33062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34138 ÷ 216
    34138 ÷ 65536     		x = 0.520904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33062 ÷ 216
    33062 ÷ 65536     		y = 0.504486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520904541015625 × 2 - 1) × π
    0.04180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13134710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.00897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.028186896976593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13134710} λ = 0.13134710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.028186896976593))-π/2
    2×atan(0.972206647337356)-π/2
    2×0.771306580748759-π/2
    1.54261316149752-1.57079632675     		φ = -0.02818317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13134710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.525634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02818317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.614777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34138 KachelY 33062 0.13134710 -0.02818317 7.525634 -1.614777
    Oben rechts KachelX + 1 34139 KachelY 33062 0.13144298 -0.02818317 7.531128 -1.614777
    Unten links KachelX 34138 KachelY + 1 33063 0.13134710 -0.02827900 7.525634 -1.620267
    Unten rechts KachelX + 1 34139 KachelY + 1 33063 0.13144298 -0.02827900 7.531128 -1.620267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02818317--0.02827900) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dl = 610.532929999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02818317--0.02827900) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dr = 610.532929999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13134710-0.13144298) × cos(-0.02818317) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999602880751109 × 6371000     		do = 610.608899119031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13134710-0.13144298) × cos(-0.02827900) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999600175725583 × 6371000     		du = 610.607246750185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02818317)-sin(-0.02827900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999602880751109-0.999600175725583)×R²
    abs(0.13144298-0.13134710)×2.7050255261285e-06×R²
    9.58799999999926e-05×2.7050255261285e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.7050255261285e-06×40589641000000     		ar = 372796.336135708m²