Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34136 / 33080
↖ ↑ ↗
← S  1.713612°
E  7.514649°		 ← 610.51 m → S  1.713612°
E  7.520142°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.719103°
E  7.514649°		 ← 610.51 m →
372 739 m²		 S  1.719103°
E  7.520142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520881652832031 y=0.504768371582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520881652832031 × 216)
    floor (0.520881652832031 × 65536)
    floor (34136.5)     		tx = 34136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504768371582031 × 216)
    floor (0.504768371582031 × 65536)
    floor (33080.5)     		ty = 33080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34136 / 33080 ti = "16/34136/33080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34136/33080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34136 ÷ 216
    34136 ÷ 65536     		x = 0.5208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33080 ÷ 216
    33080 ÷ 65536     		y = 0.5047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5208740234375 × 2 - 1) × π
    0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5047607421875 × 2 - 1) × π
    -0.009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.029912625362915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13115536} λ = 0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.029912625362915))-π/2
    2×atan(0.97053032957927)-π/2
    2×0.770444080615108-π/2
    1.54088816123022-1.57079632675     		φ = -0.02990817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02990817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.713612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34136 KachelY 33080 0.13115536 -0.02990817 7.514649 -1.713612
    Oben rechts KachelX + 1 34137 KachelY 33080 0.13125123 -0.02990817 7.520142 -1.713612
    Unten links KachelX 34136 KachelY + 1 33081 0.13115536 -0.03000400 7.514649 -1.719103
    Unten rechts KachelX + 1 34137 KachelY + 1 33081 0.13125123 -0.03000400 7.520142 -1.719103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02990817--0.03000400) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dl = 610.532929999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02990817--0.03000400) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dr = 610.532929999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13115536-0.13125123) × cos(-0.02990817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99955278402129 × 6371000     		do = 610.514615949642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13115536-0.13125123) × cos(-0.03000400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99954991375899 × 6371000     		du = 610.512862828533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02990817)-sin(-0.03000400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99955278402129-0.99954991375899)×R²
    abs(0.13125123-0.13115536)×2.87026229972565e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.87026229972565e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87026229972565e-06×40589641000000     		ar = 372738.742399722m²