Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34135 / 33065
↖ ↑ ↗
← S  1.631249°
E  7.509155°		 ← 610.60 m → S  1.631249°
E  7.514649°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.636740°
E  7.509155°		 ← 610.60 m →
372 832 m²		 S  1.636740°
E  7.514649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520866394042969 y=0.504539489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520866394042969 × 216)
    floor (0.520866394042969 × 65536)
    floor (34135.5)     		tx = 34135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504539489746094 × 216)
    floor (0.504539489746094 × 65536)
    floor (33065.5)     		ty = 33065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34135 / 33065 ti = "16/34135/33065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34135/33065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34135 ÷ 216
    34135 ÷ 65536     		x = 0.520858764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33065 ÷ 216
    33065 ÷ 65536     		y = 0.504531860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520858764648438 × 2 - 1) × π
    0.041717529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13105948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504531860351562 × 2 - 1) × π
    -0.009063720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0284745183743134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13105948} λ = 0.13105948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0284745183743134))-π/2
    2×atan(0.971927060112137)-π/2
    2×0.771162827744417-π/2
    1.54232565548883-1.57079632675     		φ = -0.02847067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13105948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.509155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02847067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.631249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34135 KachelY 33065 0.13105948 -0.02847067 7.509155 -1.631249
    Oben rechts KachelX + 1 34136 KachelY 33065 0.13115536 -0.02847067 7.514649 -1.631249
    Unten links KachelX 34135 KachelY + 1 33066 0.13105948 -0.02856651 7.509155 -1.636740
    Unten rechts KachelX + 1 34136 KachelY + 1 33066 0.13115536 -0.02856651 7.514649 -1.636740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02847067--0.02856651) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02847067--0.02856651) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13105948-0.13115536) × cos(-0.02847067) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999594737850736 × 6371000     		do = 610.603925016287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13105948-0.13115536) × cos(-0.02856651) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999592004999549 × 6371000     		du = 610.602255650095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02847067)-sin(-0.02856651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999594737850736-0.999592004999549)×R²
    abs(0.13115536-0.13105948)×2.73285118690403e-06×R²
    9.58799999999926e-05×2.73285118690403e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.73285118690403e-06×40589641000000     		ar = 372832.195616445m²