Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34134 / 33070
↖ ↑ ↗
← S  1.658704°
E  7.503662°		 ← 610.53 m → S  1.658704°
E  7.509155°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.664195°
E  7.503662°		 ← 610.53 m →
372 788 m²		 S  1.664195°
E  7.509155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520851135253906 y=0.504615783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520851135253906 × 216)
    floor (0.520851135253906 × 65536)
    floor (34134.5)     		tx = 34134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504615783691406 × 216)
    floor (0.504615783691406 × 65536)
    floor (33070.5)     		ty = 33070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34134 / 33070 ti = "16/34134/33070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34134/33070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34134 ÷ 216
    34134 ÷ 65536     		x = 0.520843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33070 ÷ 216
    33070 ÷ 65536     		y = 0.504608154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520843505859375 × 2 - 1) × π
    0.04168701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13096361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.00921630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0289538873705139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13096361} λ = 0.13096361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0289538873705139))-π/2
    2×atan(0.971461260066921)-π/2
    2×0.77092324202526-π/2
    1.54184648405052-1.57079632675     		φ = -0.02894984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13096361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.503662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02894984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.658704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34134 KachelY 33070 0.13096361 -0.02894984 7.503662 -1.658704
    Oben rechts KachelX + 1 34135 KachelY 33070 0.13105948 -0.02894984 7.509155 -1.658704
    Unten links KachelX 34134 KachelY + 1 33071 0.13096361 -0.02904568 7.503662 -1.664195
    Unten rechts KachelX + 1 34135 KachelY + 1 33071 0.13105948 -0.02904568 7.509155 -1.664195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02894984--0.02904568) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02894984--0.02904568) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13096361-0.13105948) × cos(-0.02894984) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999580982647848 × 6371000     		do = 610.531839325874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13096361-0.13105948) × cos(-0.02904568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999578203891997 × 6371000     		du = 610.530142095785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02894984)-sin(-0.02904568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999580982647848-0.999578203891997)×R²
    abs(0.13105948-0.13096361)×2.77875585041887e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.77875585041887e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.77875585041887e-06×40589641000000     		ar = 372788.171829249m²