Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34132 / 32820
↖ ↑ ↗
← S  0.285644°
E  7.492676°		 ← 610.84 m → S  0.285644°
E  7.498169°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.291136°
E  7.492676°		 ← 610.84 m →
373 096 m²		 S  0.291136°
E  7.498169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520820617675781 y=0.500801086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520820617675781 × 216)
    floor (0.520820617675781 × 65536)
    floor (34132.5)     		tx = 34132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500801086425781 × 216)
    floor (0.500801086425781 × 65536)
    floor (32820.5)     		ty = 32820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34132 / 32820 ti = "16/34132/32820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34132/32820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34132 ÷ 216
    34132 ÷ 65536     		x = 0.52081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32820 ÷ 216
    32820 ÷ 65536     		y = 0.50079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52081298828125 × 2 - 1) × π
    0.0416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13077186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.0015869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00498543756048584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13077186} λ = 0.13077186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00498543756048584))-π/2
    2×atan(0.99502696910723)-π/2
    2×0.782905454943058-π/2
    1.56581090988612-1.57079632675     		φ = -0.00498542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13077186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.492676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00498542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.285644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34132 KachelY 32820 0.13077186 -0.00498542 7.492676 -0.285644
    Oben rechts KachelX + 1 34133 KachelY 32820 0.13086774 -0.00498542 7.498169 -0.285644
    Unten links KachelX 34132 KachelY + 1 32821 0.13077186 -0.00508129 7.492676 -0.291136
    Unten rechts KachelX + 1 34133 KachelY + 1 32821 0.13086774 -0.00508129 7.498169 -0.291136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00498542--0.00508129) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00498542--0.00508129) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13077186-0.13086774) × cos(-0.00498542) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999987572819451 × 6371000     		do = 610.843888838499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13077186-0.13086774) × cos(-0.00508129) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999987090273745 × 6371000     		du = 610.843594074741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00498542)-sin(-0.00508129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999987572819451-0.999987090273745)×R²
    abs(0.13086774-0.13077186)×4.82545706170789e-07×R²
    9.58800000000204e-05×4.82545706170789e-07×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.82545706170789e-07×40589641000000     		ar = 373095.886948508m²