Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34128 / 32815
↖ ↑ ↗
← S  0.258178°
E  7.470703°		 ← 610.78 m → S  0.258178°
E  7.476196°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
S  0.263671°
E  7.470703°		 ← 610.78 m →
373 097 m²		 S  0.263671°
E  7.476196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520759582519531 y=0.500724792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520759582519531 × 216)
    floor (0.520759582519531 × 65536)
    floor (34128.5)     		tx = 34128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500724792480469 × 216)
    floor (0.500724792480469 × 65536)
    floor (32815.5)     		ty = 32815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34128 / 32815 ti = "16/34128/32815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34128/32815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34128 ÷ 216
    34128 ÷ 65536     		x = 0.520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32815 ÷ 216
    32815 ÷ 65536     		y = 0.500717163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520751953125 × 2 - 1) × π
    0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500717163085938 × 2 - 1) × π
    -0.001434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00450606856428528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13038837} λ = 0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00450606856428528))-π/2
    2×atan(0.995504068530803)-π/2
    2×0.78314513673978-π/2
    1.56629027347956-1.57079632675     		φ = -0.00450605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00450605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.258178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34128 KachelY 32815 0.13038837 -0.00450605 7.470703 -0.258178
    Oben rechts KachelX + 1 34129 KachelY 32815 0.13048424 -0.00450605 7.476196 -0.258178
    Unten links KachelX 34128 KachelY + 1 32816 0.13038837 -0.00460193 7.470703 -0.263671
    Unten rechts KachelX + 1 34129 KachelY + 1 32816 0.13048424 -0.00460193 7.476196 -0.263671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00450605--0.00460193) × R
    9.58799999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.851479999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00450605--0.00460193) × R
    9.58799999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.851479999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13038837-0.13048424) × cos(-0.00450605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999989847773877 × 6371000     		do = 610.781569144432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13038837-0.13048424) × cos(-0.00460193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999989411138825 × 6371000     		du = 610.781302453083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00450605)-sin(-0.00460193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989847773877-0.999989411138825)×R²
    abs(0.13048424-0.13038837)×4.36635051892509e-07×R²
    9.58699999999979e-05×4.36635051892509e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36635051892509e-07×40589641000000     		ar = 373096.744300018m²