Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34126 / 32947
↖ ↑ ↗
← S  0.983228°
E  7.459717°		 ← 610.70 m → S  0.983228°
E  7.465210°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.988721°
E  7.459717°		 ← 610.70 m →
372 968 m²		 S  0.988721°
E  7.465210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520729064941406 y=0.502738952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520729064941406 × 216)
    floor (0.520729064941406 × 65536)
    floor (34126.5)     		tx = 34126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502738952636719 × 216)
    floor (0.502738952636719 × 65536)
    floor (32947.5)     		ty = 32947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34126 / 32947 ti = "16/34126/32947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34126/32947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34126 ÷ 216
    34126 ÷ 65536     		x = 0.520721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32947 ÷ 216
    32947 ÷ 65536     		y = 0.502731323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520721435546875 × 2 - 1) × π
    0.04144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13019662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502731323242188 × 2 - 1) × π
    -0.005462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0171614100639801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13019662} λ = 0.13019662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0171614100639801))-π/2
    2×atan(0.982985008156206)-π/2
    2×0.77681787952407-π/2
    1.55363575904814-1.57079632675     		φ = -0.01716057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13019662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.459717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01716057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.983228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34126 KachelY 32947 0.13019662 -0.01716057 7.459717 -0.983228
    Oben rechts KachelX + 1 34127 KachelY 32947 0.13029249 -0.01716057 7.465210 -0.983228
    Unten links KachelX 34126 KachelY + 1 32948 0.13019662 -0.01725643 7.459717 -0.988721
    Unten rechts KachelX + 1 34127 KachelY + 1 32948 0.13029249 -0.01725643 7.465210 -0.988721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01716057--0.01725643) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01716057--0.01725643) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13019662-0.13029249) × cos(-0.01716057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999852761031998 × 6371000     		do = 610.697838239064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13019662-0.13029249) × cos(-0.01725643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999851111506605 × 6371000     		du = 610.696830729127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01716057)-sin(-0.01725643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999852761031998-0.999851111506605)×R²
    abs(0.13029249-0.13019662)×1.64952539360996e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.64952539360996e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64952539360996e-06×40589641000000     		ar = 372967.5558329m²