Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34115 / 32829
↖ ↑ ↗
← S  0.335081°
E  7.399292°		 ← 610.78 m → S  0.335081°
E  7.404785°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.340574°
E  7.399292°		 ← 610.78 m →
373 055 m²		 S  0.340574°
E  7.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520561218261719 y=0.500938415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520561218261719 × 216)
    floor (0.520561218261719 × 65536)
    floor (34115.5)     		tx = 34115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500938415527344 × 216)
    floor (0.500938415527344 × 65536)
    floor (32829.5)     		ty = 32829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34115 / 32829 ti = "16/34115/32829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34115/32829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34115 ÷ 216
    34115 ÷ 65536     		x = 0.520553588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32829 ÷ 216
    32829 ÷ 65536     		y = 0.500930786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520553588867188 × 2 - 1) × π
    0.041107177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12914201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500930786132812 × 2 - 1) × π
    -0.001861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00584830175364685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12914201} λ = 0.12914201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00584830175364685))-π/2
    2×atan(0.994168766273853)-π/2
    2×0.782474029189426-π/2
    1.56494805837885-1.57079632675     		φ = -0.00584827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12914201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.399292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00584827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.335081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34115 KachelY 32829 0.12914201 -0.00584827 7.399292 -0.335081
    Oben rechts KachelX + 1 34116 KachelY 32829 0.12923788 -0.00584827 7.404785 -0.335081
    Unten links KachelX 34115 KachelY + 1 32830 0.12914201 -0.00594414 7.399292 -0.340574
    Unten rechts KachelX + 1 34116 KachelY + 1 32830 0.12923788 -0.00594414 7.404785 -0.340574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00584827--0.00594414) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00584827--0.00594414) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12914201-0.12923788) × cos(-0.00584827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999982898917745 × 6371000     		do = 610.777324868092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12914201-0.12923788) × cos(-0.00594414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999982333651847 × 6371000     		du = 610.776979610594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00584827)-sin(-0.00594414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999982898917745-0.999982333651847)×R²
    abs(0.12923788-0.12914201)×5.65265897867206e-07×R²
    9.58699999999979e-05×5.65265897867206e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.65265897867206e-07×40589641000000     		ar = 373055.215068947m²