Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34110 / 32828
↖ ↑ ↗
← S  0.329588°
E  7.371826°		 ← 610.78 m → S  0.329588°
E  7.377319°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.335081°
E  7.371826°		 ← 610.78 m →
373 055 m²		 S  0.335081°
E  7.377319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520484924316406 y=0.500923156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520484924316406 × 216)
    floor (0.520484924316406 × 65536)
    floor (34110.5)     		tx = 34110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500923156738281 × 216)
    floor (0.500923156738281 × 65536)
    floor (32828.5)     		ty = 32828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34110 / 32828 ti = "16/34110/32828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34110/32828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34110 ÷ 216
    34110 ÷ 65536     		x = 0.520477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32828 ÷ 216
    32828 ÷ 65536     		y = 0.50091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520477294921875 × 2 - 1) × π
    0.04095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12866264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.0018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12866264} λ = 0.12866264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00575242795440674))-π/2
    2×atan(0.9942640855798)-π/2
    2×0.782521965282639-π/2
    1.56504393056528-1.57079632675     		φ = -0.00575240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12866264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.371826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00575240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.329588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34110 KachelY 32828 0.12866264 -0.00575240 7.371826 -0.329588
    Oben rechts KachelX + 1 34111 KachelY 32828 0.12875851 -0.00575240 7.377319 -0.329588
    Unten links KachelX 34110 KachelY + 1 32829 0.12866264 -0.00584827 7.371826 -0.335081
    Unten rechts KachelX + 1 34111 KachelY + 1 32829 0.12875851 -0.00584827 7.377319 -0.335081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00575240--0.00584827) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00575240--0.00584827) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12866264-0.12875851) × cos(-0.00575240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999983454992743 × 6371000     		do = 610.7776645119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12866264-0.12875851) × cos(-0.00584827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999982898917745 × 6371000     		du = 610.777324868092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00575240)-sin(-0.00584827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999983454992743-0.999982898917745)×R²
    abs(0.12875851-0.12866264)×5.56074998159239e-07×R²
    9.58699999999979e-05×5.56074998159239e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.56074998159239e-07×40589641000000     		ar = 373055.424233619m²