Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34109 / 32834
↖ ↑ ↗
← S  0.362546°
E  7.366333°		 ← 610.84 m → S  0.362546°
E  7.371826°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.368039°
E  7.366333°		 ← 610.84 m →
373 093 m²		 S  0.368039°
E  7.371826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520469665527344 y=0.501014709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520469665527344 × 216)
    floor (0.520469665527344 × 65536)
    floor (34109.5)     		tx = 34109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501014709472656 × 216)
    floor (0.501014709472656 × 65536)
    floor (32834.5)     		ty = 32834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34109 / 32834 ti = "16/34109/32834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34109/32834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34109 ÷ 216
    34109 ÷ 65536     		x = 0.520462036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32834 ÷ 216
    32834 ÷ 65536     		y = 0.501007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520462036132812 × 2 - 1) × π
    0.040924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12856676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.00201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00632767074984741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12856676} λ = 0.12856676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00632767074984741))-π/2
    2×atan(0.993692306799384)-π/2
    2×0.782234349135334-π/2
    1.56446869827067-1.57079632675     		φ = -0.00632763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12856676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.366333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00632763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.362546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34109 KachelY 32834 0.12856676 -0.00632763 7.366333 -0.362546
    Oben rechts KachelX + 1 34110 KachelY 32834 0.12866264 -0.00632763 7.371826 -0.362546
    Unten links KachelX 34109 KachelY + 1 32835 0.12856676 -0.00642350 7.366333 -0.368039
    Unten rechts KachelX + 1 34110 KachelY + 1 32835 0.12866264 -0.00642350 7.371826 -0.368039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00632763--0.00642350) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00632763--0.00642350) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12856676-0.12866264) × cos(-0.00632763) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999979980616088 × 6371000     		do = 610.839251129662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12856676-0.12866264) × cos(-0.00642350) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999979369394812 × 6371000     		du = 610.838877764241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00632763)-sin(-0.00642350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999979980616088-0.999979369394812)×R²
    abs(0.12866264-0.12856676)×6.11221275481633e-07×R²
    9.58799999999926e-05×6.11221275481633e-07×6371000²
    9.58799999999926e-05×6.11221275481633e-07×40589641000000     		ar = 373093.030288203m²