Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34100 / 32853
↖ ↑ ↗
← S  0.466914°
E  7.316894°		 ← 610.77 m → S  0.466914°
E  7.322387°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.472407°
E  7.316894°		 ← 610.77 m →
373 049 m²		 S  0.472407°
E  7.322387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520332336425781 y=0.501304626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520332336425781 × 216)
    floor (0.520332336425781 × 65536)
    floor (34100.5)     		tx = 34100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501304626464844 × 216)
    floor (0.501304626464844 × 65536)
    floor (32853.5)     		ty = 32853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34100 / 32853 ti = "16/34100/32853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34100/32853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34100 ÷ 216
    34100 ÷ 65536     		x = 0.52032470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32853 ÷ 216
    32853 ÷ 65536     		y = 0.501296997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52032470703125 × 2 - 1) × π
    0.0406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12770390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501296997070312 × 2 - 1) × π
    -0.002593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00814927293540955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12770390} λ = 0.12770390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00814927293540955))-π/2
    2×atan(0.991883842372994)-π/2
    2×0.78132357202887-π/2
    1.56264714405774-1.57079632675     		φ = -0.00814918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12770390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.316894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00814918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.466914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34100 KachelY 32853 0.12770390 -0.00814918 7.316894 -0.466914
    Oben rechts KachelX + 1 34101 KachelY 32853 0.12779977 -0.00814918 7.322387 -0.466914
    Unten links KachelX 34100 KachelY + 1 32854 0.12770390 -0.00824505 7.316894 -0.472407
    Unten rechts KachelX + 1 34101 KachelY + 1 32854 0.12779977 -0.00824505 7.322387 -0.472407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00814918--0.00824505) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00814918--0.00824505) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12770390-0.12779977) × cos(-0.00814918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999966795616421 × 6371000     		do = 610.767489168586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12770390-0.12779977) × cos(-0.00824505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999966009767806 × 6371000     		du = 610.767009181863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00814918)-sin(-0.00824505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999966795616421-0.999966009767806)×R²
    abs(0.12779977-0.12770390)×7.85848614182072e-07×R²
    9.58699999999979e-05×7.85848614182072e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×7.85848614182072e-07×40589641000000     		ar = 373049.166398496m²