Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3410 / 4054
↖ ↑ ↗
← S 84.722243°
E119.707031°		 ← 898.96 m → S 84.722243°
E119.794922°		 →
↑
898.25 m
↓
↑
898.25 m
↓
S 84.730321°
E119.707031°		 ← 897.59 m →
806 871 m²		 S 84.730321°
E119.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8326416015625 y=0.9898681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8326416015625 × 212)
    floor (0.8326416015625 × 4096)
    floor (3410.5)     		tx = 3410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9898681640625 × 212)
    floor (0.9898681640625 × 4096)
    floor (4054.5)     		ty = 4054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3410 / 4054 ti = "12/3410/4054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3410/4054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3410 ÷ 212
    3410 ÷ 4096     		x = 0.83251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4054 ÷ 212
    4054 ÷ 4096     		y = 0.98974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83251953125 × 2 - 1) × π
    0.6650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08928183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.98974609375 × 2 - 1) × π
    -0.9794921875 × 3.1415926535     		Φ = -3.07716546041064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08928183} λ = 2.08928183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.07716546041064))-π/2
    2×atan(0.0460897147885455)-π/2
    2×0.0460571207810853-π/2
    0.0921142415621705-1.57079632675     		φ = -1.47868209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08928183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47868209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.722243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3410 KachelY 4054 2.08928183 -1.47868209 119.707031 -84.722243
    Oben rechts KachelX + 1 3411 KachelY 4054 2.09081581 -1.47868209 119.794922 -84.722243
    Unten links KachelX 3410 KachelY + 1 4055 2.08928183 -1.47882308 119.707031 -84.730321
    Unten rechts KachelX + 1 3411 KachelY + 1 4055 2.09081581 -1.47882308 119.794922 -84.730321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47868209--1.47882308) × R
    0.000140990000000007 × 6371000     		dl = 898.247290000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47868209--1.47882308) × R
    0.000140990000000007 × 6371000     		dr = 898.247290000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08928183-2.09081581) × cos(-1.47868209) × R
    0.00153398000000005 × 0.0919840266650348 × 6371000     		do = 898.958658171774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08928183-2.09081581) × cos(-1.47882308) × R
    0.00153398000000005 × 0.0918436334808113 × 6371000     		du = 897.586597466435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47868209)-sin(-1.47882308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0919840266650348-0.0918436334808113)×R²
    abs(2.09081581-2.08928183)×0.000140393184223431×R²
    0.00153398000000005×0.000140393184223431×6371000²
    0.00153398000000005×0.000140393184223431×40589641000000     		ar = 806870.954956825m²