Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34098 / 32987
↖ ↑ ↗
← S  1.202915°
E  7.305908°		 ← 610.72 m → S  1.202915°
E  7.311402°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.208406°
E  7.305908°		 ← 610.72 m →
372 940 m²		 S  1.208406°
E  7.311402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520301818847656 y=0.503349304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520301818847656 × 216)
    floor (0.520301818847656 × 65536)
    floor (34098.5)     		tx = 34098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503349304199219 × 216)
    floor (0.503349304199219 × 65536)
    floor (32987.5)     		ty = 32987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34098 / 32987 ti = "16/34098/32987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34098/32987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34098 ÷ 216
    34098 ÷ 65536     		x = 0.520294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32987 ÷ 216
    32987 ÷ 65536     		y = 0.503341674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520294189453125 × 2 - 1) × π
    0.04058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12751215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503341674804688 × 2 - 1) × π
    -0.006683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0209963620335846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12751215} λ = 0.12751215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0209963620335846))-π/2
    2×atan(0.979222526941646)-π/2
    2×0.774900753644639-π/2
    1.54980150728928-1.57079632675     		φ = -0.02099482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12751215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02099482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.202915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34098 KachelY 32987 0.12751215 -0.02099482 7.305908 -1.202915
    Oben rechts KachelX + 1 34099 KachelY 32987 0.12760803 -0.02099482 7.311402 -1.202915
    Unten links KachelX 34098 KachelY + 1 32988 0.12751215 -0.02109067 7.305908 -1.208406
    Unten rechts KachelX + 1 34099 KachelY + 1 32988 0.12760803 -0.02109067 7.311402 -1.208406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02099482--0.02109067) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02099482--0.02109067) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12751215-0.12760803) × cos(-0.02099482) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999779616861847 × 6371000     		do = 610.716858634022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12751215-0.12760803) × cos(-0.02109067) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999777600063586 × 6371000     		du = 610.71562666982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02099482)-sin(-0.02109067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999779616861847-0.999777600063586)×R²
    abs(0.12760803-0.12751215)×2.01679826106194e-06×R²
    9.58800000000204e-05×2.01679826106194e-06×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.01679826106194e-06×40589641000000     		ar = 372940.194774024m²