Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34097 / 33010
↖ ↑ ↗
← S  1.329227°
E  7.300415°		 ← 610.62 m → S  1.329227°
E  7.305908°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.334718°
E  7.300415°		 ← 610.62 m →
372 883 m²		 S  1.334718°
E  7.305908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520286560058594 y=0.503700256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520286560058594 × 216)
    floor (0.520286560058594 × 65536)
    floor (34097.5)     		tx = 34097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503700256347656 × 216)
    floor (0.503700256347656 × 65536)
    floor (33010.5)     		ty = 33010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34097 / 33010 ti = "16/34097/33010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34097/33010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34097 ÷ 216
    34097 ÷ 65536     		x = 0.520278930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33010 ÷ 216
    33010 ÷ 65536     		y = 0.503692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520278930664062 × 2 - 1) × π
    0.040557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12741628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.00738525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0232014594161072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12741628} λ = 0.12741628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0232014594161072))-π/2
    2×atan(0.977065624874118)-π/2
    2×0.773798474343074-π/2
    1.54759694868615-1.57079632675     		φ = -0.02319938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12741628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.300415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02319938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.329227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34097 KachelY 33010 0.12741628 -0.02319938 7.300415 -1.329227
    Oben rechts KachelX + 1 34098 KachelY 33010 0.12751215 -0.02319938 7.305908 -1.329227
    Unten links KachelX 34097 KachelY + 1 33011 0.12741628 -0.02329523 7.300415 -1.334718
    Unten rechts KachelX + 1 34098 KachelY + 1 33011 0.12751215 -0.02329523 7.305908 -1.334718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02319938--0.02329523) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02319938--0.02329523) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12741628-0.12751215) × cos(-0.02319938) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99973090645323 × 6371000     		do = 610.623410952634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12741628-0.12751215) × cos(-0.02329523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999728678399746 × 6371000     		du = 610.622050084815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02319938)-sin(-0.02329523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99973090645323-0.999728678399746)×R²
    abs(0.12751215-0.12741628)×2.22805348359945e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.22805348359945e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22805348359945e-06×40589641000000     		ar = 372883.090622005m²