Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34096 / 32849
↖ ↑ ↗
← S  0.444942°
E  7.294922°		 ← 610.77 m → S  0.444942°
E  7.300415°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.450435°
E  7.294922°		 ← 610.77 m →
373 050 m²		 S  0.450435°
E  7.300415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520271301269531 y=0.501243591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520271301269531 × 216)
    floor (0.520271301269531 × 65536)
    floor (34096.5)     		tx = 34096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501243591308594 × 216)
    floor (0.501243591308594 × 65536)
    floor (32849.5)     		ty = 32849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34096 / 32849 ti = "16/34096/32849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34096/32849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34096 ÷ 216
    34096 ÷ 65536     		x = 0.520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32849 ÷ 216
    32849 ÷ 65536     		y = 0.501235961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520263671875 × 2 - 1) × π
    0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501235961914062 × 2 - 1) × π
    -0.002471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0077657777384491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12732041} λ = 0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0077657777384491))-π/2
    2×atan(0.992264298009278)-π/2
    2×0.781515313555395-π/2
    1.56303062711079-1.57079632675     		φ = -0.00776570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00776570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.444942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34096 KachelY 32849 0.12732041 -0.00776570 7.294922 -0.444942
    Oben rechts KachelX + 1 34097 KachelY 32849 0.12741628 -0.00776570 7.300415 -0.444942
    Unten links KachelX 34096 KachelY + 1 32850 0.12732041 -0.00786157 7.294922 -0.450435
    Unten rechts KachelX + 1 34097 KachelY + 1 32850 0.12741628 -0.00786157 7.300415 -0.450435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00776570--0.00786157) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00776570--0.00786157) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12732041-0.12741628) × cos(-0.00776570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999969847103289 × 6371000     		do = 610.769352979446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12732041-0.12741628) × cos(-0.00786157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999969098017724 × 6371000     		du = 610.768895447144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00776570)-sin(-0.00786157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999969847103289-0.999969098017724)×R²
    abs(0.12741628-0.12732041)×7.49085564799579e-07×R²
    9.58699999999979e-05×7.49085564799579e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×7.49085564799579e-07×40589641000000     		ar = 373050.31164882m²