Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34093 / 32997
↖ ↑ ↗
← S  1.257834°
E  7.278442°		 ← 610.70 m → S  1.257834°
E  7.283936°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.263326°
E  7.278442°		 ← 610.70 m →
372 933 m²		 S  1.263326°
E  7.283936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520225524902344 y=0.503501892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520225524902344 × 216)
    floor (0.520225524902344 × 65536)
    floor (34093.5)     		tx = 34093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503501892089844 × 216)
    floor (0.503501892089844 × 65536)
    floor (32997.5)     		ty = 32997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34093 / 32997 ti = "16/34093/32997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34093/32997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34093 ÷ 216
    34093 ÷ 65536     		x = 0.520217895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32997 ÷ 216
    32997 ÷ 65536     		y = 0.503494262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520217895507812 × 2 - 1) × π
    0.040435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12703278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503494262695312 × 2 - 1) × π
    -0.006988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0219551000259857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12703278} λ = 0.12703278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0219551000259857))-π/2
    2×atan(0.978284158998428)-π/2
    2×0.774421495189711-π/2
    1.54884299037942-1.57079632675     		φ = -0.02195334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12703278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.278442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02195334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.257834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34093 KachelY 32997 0.12703278 -0.02195334 7.278442 -1.257834
    Oben rechts KachelX + 1 34094 KachelY 32997 0.12712866 -0.02195334 7.283936 -1.257834
    Unten links KachelX 34093 KachelY + 1 32998 0.12703278 -0.02204919 7.278442 -1.263326
    Unten rechts KachelX + 1 34094 KachelY + 1 32998 0.12712866 -0.02204919 7.283936 -1.263326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02195334--0.02204919) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02195334--0.02204919) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12703278-0.12712866) × cos(-0.02195334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99975903510939 × 6371000     		do = 610.704286239896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12703278-0.12712866) × cos(-0.02204919) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999756926458268 × 6371000     		du = 610.702998167237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02195334)-sin(-0.02204919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99975903510939-0.999756926458268)×R²
    abs(0.12712866-0.12703278)×2.1086511223789e-06×R²
    9.58799999999926e-05×2.1086511223789e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.1086511223789e-06×40589641000000     		ar = 372932.500179827m²