Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34088 / 32679
↖ ↑ ↗
← N  0.488885°
E  7.250976°		 ← 610.83 m → N  0.488885°
E  7.256470°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.483392°
E  7.250976°		 ← 610.83 m →
373 087 m²		 N  0.483392°
E  7.256470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520149230957031 y=0.498649597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520149230957031 × 216)
    floor (0.520149230957031 × 65536)
    floor (34088.5)     		tx = 34088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498649597167969 × 216)
    floor (0.498649597167969 × 65536)
    floor (32679.5)     		ty = 32679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34088 / 32679 ti = "16/34088/32679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34088/32679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34088 ÷ 216
    34088 ÷ 65536     		x = 0.5201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32679 ÷ 216
    32679 ÷ 65536     		y = 0.498641967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5201416015625 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498641967773438 × 2 - 1) × π
    0.002716064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00853276813236999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12655341} λ = 0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00853276813236999))-π/2
    2×atan(1.00856927596211)-π/2
    2×0.789664495693333-π/2
    1.57932899138667-1.57079632675     		φ = 0.00853266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00853266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.488885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34088 KachelY 32679 0.12655341 0.00853266 7.250976 0.488885
    Oben rechts KachelX + 1 34089 KachelY 32679 0.12664929 0.00853266 7.256470 0.488885
    Unten links KachelX 34088 KachelY + 1 32680 0.12655341 0.00843679 7.250976 0.483392
    Unten rechts KachelX + 1 34089 KachelY + 1 32680 0.12664929 0.00843679 7.256470 0.483392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00853266-0.00843679) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00853266-0.00843679) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12655341-0.12664929) × cos(0.00853266) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999963597077526 × 6371000     		do = 610.829243220884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12655341-0.12664929) × cos(0.00843679) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999964410498352 × 6371000     		du = 610.829740100199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00853266)-sin(0.00843679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999963597077526-0.999964410498352)×R²
    abs(0.12664929-0.12655341)×8.13420825584998e-07×R²
    9.58799999999926e-05×8.13420825584998e-07×6371000²
    9.58799999999926e-05×8.13420825584998e-07×40589641000000     		ar = 373087.183347328m²