Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34054 / 33075
↖ ↑ ↗
← S  1.686158°
E  7.064209°		 ← 610.52 m → S  1.686158°
E  7.069702°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.691649°
E  7.064209°		 ← 610.52 m →
372 744 m²		 S  1.691649°
E  7.069702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519630432128906 y=0.504692077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519630432128906 × 216)
    floor (0.519630432128906 × 65536)
    floor (34054.5)     		tx = 34054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504692077636719 × 216)
    floor (0.504692077636719 × 65536)
    floor (33075.5)     		ty = 33075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34054 / 33075 ti = "16/34054/33075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34054/33075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34054 ÷ 216
    34054 ÷ 65536     		x = 0.519622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33075 ÷ 216
    33075 ÷ 65536     		y = 0.504684448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519622802734375 × 2 - 1) × π
    0.03924560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12329371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504684448242188 × 2 - 1) × π
    -0.009368896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0294332563667145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12329371} λ = 0.12329371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0294332563667145))-π/2
    2×atan(0.970995683258294)-π/2
    2×0.770683659630503-π/2
    1.54136731926101-1.57079632675     		φ = -0.02942901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12329371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.064209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02942901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.686158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34054 KachelY 33075 0.12329371 -0.02942901 7.064209 -1.686158
    Oben rechts KachelX + 1 34055 KachelY 33075 0.12338958 -0.02942901 7.069702 -1.686158
    Unten links KachelX 34054 KachelY + 1 33076 0.12329371 -0.02952484 7.064209 -1.691649
    Unten rechts KachelX + 1 34055 KachelY + 1 33076 0.12338958 -0.02952484 7.069702 -1.691649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02942901--0.02952484) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02942901--0.02952484) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12329371-0.12338958) × cos(-0.02942901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999566997937283 × 6371000     		do = 610.523297635694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12329371-0.12338958) × cos(-0.02952484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999564173572613 × 6371000     		du = 610.521572548296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02942901)-sin(-0.02952484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999566997937283-0.999564173572613)×R²
    abs(0.12338958-0.12329371)×2.82436467025082e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.82436467025082e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82436467025082e-06×40589641000000     		ar = 372744.051412712m²