Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34054 / 33019
↖ ↑ ↗
← S  1.378651°
E  7.064209°		 ← 610.61 m → S  1.378651°
E  7.069702°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.384143°
E  7.064209°		 ← 610.61 m →
372 875 m²		 S  1.384143°
E  7.069702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519630432128906 y=0.503837585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519630432128906 × 216)
    floor (0.519630432128906 × 65536)
    floor (34054.5)     		tx = 34054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503837585449219 × 216)
    floor (0.503837585449219 × 65536)
    floor (33019.5)     		ty = 33019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34054 / 33019 ti = "16/34054/33019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34054/33019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34054 ÷ 216
    34054 ÷ 65536     		x = 0.519622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33019 ÷ 216
    33019 ÷ 65536     		y = 0.503829956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519622802734375 × 2 - 1) × π
    0.03924560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12329371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503829956054688 × 2 - 1) × π
    -0.007659912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0240643236092682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12329371} λ = 0.12329371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0240643236092682))-π/2
    2×atan(0.976222913557041)-π/2
    2×0.773367162712167-π/2
    1.54673432542433-1.57079632675     		φ = -0.02406200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12329371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.064209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02406200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.378651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34054 KachelY 33019 0.12329371 -0.02406200 7.064209 -1.378651
    Oben rechts KachelX + 1 34055 KachelY 33019 0.12338958 -0.02406200 7.069702 -1.378651
    Unten links KachelX 34054 KachelY + 1 33020 0.12329371 -0.02415785 7.064209 -1.384143
    Unten rechts KachelX + 1 34055 KachelY + 1 33020 0.12338958 -0.02415785 7.069702 -1.384143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02406200--0.02415785) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02406200--0.02415785) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12329371-0.12338958) × cos(-0.02406200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999710524045133 × 6371000     		do = 610.610961627045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12329371-0.12338958) × cos(-0.02415785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999708213332703 × 6371000     		du = 610.609550272152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02406200)-sin(-0.02415785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999710524045133-0.999708213332703)×R²
    abs(0.12338958-0.12329371)×2.31071243006475e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.31071243006475e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.31071243006475e-06×40589641000000     		ar = 372875.472897253m²