Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34054 / 33018
↖ ↑ ↗
← S  1.373160°
E  7.064209°		 ← 610.61 m → S  1.373160°
E  7.069702°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.378651°
E  7.064209°		 ← 610.61 m →
372 837 m²		 S  1.378651°
E  7.069702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519630432128906 y=0.503822326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519630432128906 × 216)
    floor (0.519630432128906 × 65536)
    floor (34054.5)     		tx = 34054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503822326660156 × 216)
    floor (0.503822326660156 × 65536)
    floor (33018.5)     		ty = 33018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34054 / 33018 ti = "16/34054/33018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34054/33018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34054 ÷ 216
    34054 ÷ 65536     		x = 0.519622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33018 ÷ 216
    33018 ÷ 65536     		y = 0.503814697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519622802734375 × 2 - 1) × π
    0.03924560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12329371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.00762939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0239684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12329371} λ = 0.12329371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0239684498100281))-π/2
    2×atan(0.976316512243429)-π/2
    2×0.773415085790404-π/2
    1.54683017158081-1.57079632675     		φ = -0.02396616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12329371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.064209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02396616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.373160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34054 KachelY 33018 0.12329371 -0.02396616 7.064209 -1.373160
    Oben rechts KachelX + 1 34055 KachelY 33018 0.12338958 -0.02396616 7.069702 -1.373160
    Unten links KachelX 34054 KachelY + 1 33019 0.12329371 -0.02406200 7.064209 -1.378651
    Unten rechts KachelX + 1 34055 KachelY + 1 33019 0.12338958 -0.02406200 7.069702 -1.378651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02396616--0.02406200) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02396616--0.02406200) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12329371-0.12338958) × cos(-0.02396616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999712825333361 × 6371000     		do = 610.61236722575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12329371-0.12338958) × cos(-0.02406200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999710524045133 × 6371000     		du = 610.610961627045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02396616)-sin(-0.02406200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999712825333361-0.999710524045133)×R²
    abs(0.12338958-0.12329371)×2.30128822842346e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.30128822842346e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.30128822842346e-06×40589641000000     		ar = 372837.430928959m²