Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34053 / 33104
↖ ↑ ↗
← S  1.845384°
E  7.058716°		 ← 610.53 m → S  1.845384°
E  7.064209°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
S  1.850874°
E  7.058716°		 ← 610.53 m →
372 712 m²		 S  1.850874°
E  7.064209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519615173339844 y=0.505134582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519615173339844 × 216)
    floor (0.519615173339844 × 65536)
    floor (34053.5)     		tx = 34053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505134582519531 × 216)
    floor (0.505134582519531 × 65536)
    floor (33104.5)     		ty = 33104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34053 / 33104 ti = "16/34053/33104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34053/33104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34053 ÷ 216
    34053 ÷ 65536     		x = 0.519607543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33104 ÷ 216
    33104 ÷ 65536     		y = 0.505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519607543945312 × 2 - 1) × π
    0.039215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12319783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0322135965446777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12319783} λ = 0.12319783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0322135965446777))-π/2
    2×atan(0.968299734511517)-π/2
    2×0.769294150115815-π/2
    1.53858830023163-1.57079632675     		φ = -0.03220803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12319783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.058716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03220803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.845384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34053 KachelY 33104 0.12319783 -0.03220803 7.058716 -1.845384
    Oben rechts KachelX + 1 34054 KachelY 33104 0.12329371 -0.03220803 7.064209 -1.845384
    Unten links KachelX 34053 KachelY + 1 33105 0.12319783 -0.03230385 7.058716 -1.850874
    Unten rechts KachelX + 1 34054 KachelY + 1 33105 0.12329371 -0.03230385 7.064209 -1.850874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03220803--0.03230385) × R
    9.58200000000034e-05 × 6371000     		dl = 610.469220000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03220803--0.03230385) × R
    9.58200000000034e-05 × 6371000     		dr = 610.469220000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12319783-0.12329371) × cos(-0.03220803) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999481366238124 × 6371000     		do = 610.534671799021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12319783-0.12329371) × cos(-0.03230385) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999478276009888 × 6371000     		du = 610.53278412853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03220803)-sin(-0.03230385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999481366238124-0.999478276009888)×R²
    abs(0.12329371-0.12319783)×3.09022823552496e-06×R²
    9.58800000000065e-05×3.09022823552496e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.09022823552496e-06×40589641000000     		ar = 372712.048978937m²