Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34053 / 33013
↖ ↑ ↗
← S  1.345701°
E  7.058716°		 ← 610.68 m → S  1.345701°
E  7.064209°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.351193°
E  7.058716°		 ← 610.68 m →
372 919 m²		 S  1.351193°
E  7.064209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519615173339844 y=0.503746032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519615173339844 × 216)
    floor (0.519615173339844 × 65536)
    floor (34053.5)     		tx = 34053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503746032714844 × 216)
    floor (0.503746032714844 × 65536)
    floor (33013.5)     		ty = 33013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34053 / 33013 ti = "16/34053/33013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34053/33013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34053 ÷ 216
    34053 ÷ 65536     		x = 0.519607543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33013 ÷ 216
    33013 ÷ 65536     		y = 0.503738403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519607543945312 × 2 - 1) × π
    0.039215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12319783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503738403320312 × 2 - 1) × π
    -0.007476806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0234890808138275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12319783} λ = 0.12319783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0234890808138275))-π/2
    2×atan(0.976784640303952)-π/2
    2×0.773654702824345-π/2
    1.54730940564869-1.57079632675     		φ = -0.02348692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12319783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.058716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02348692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.345701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34053 KachelY 33013 0.12319783 -0.02348692 7.058716 -1.345701
    Oben rechts KachelX + 1 34054 KachelY 33013 0.12329371 -0.02348692 7.064209 -1.345701
    Unten links KachelX 34053 KachelY + 1 33014 0.12319783 -0.02358277 7.058716 -1.351193
    Unten rechts KachelX + 1 34054 KachelY + 1 33014 0.12329371 -0.02358277 7.064209 -1.351193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02348692--0.02358277) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02348692--0.02358277) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12319783-0.12329371) × cos(-0.02348692) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999724194973458 × 6371000     		do = 610.683004091387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12319783-0.12329371) × cos(-0.02358277) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999721939366805 × 6371000     		du = 610.681626250725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02348692)-sin(-0.02358277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999724194973458-0.999721939366805)×R²
    abs(0.12329371-0.12319783)×2.25560665301217e-06×R²
    9.58800000000065e-05×2.25560665301217e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.25560665301217e-06×40589641000000     		ar = 372919.476606666m²