Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34051 / 33012
↖ ↑ ↗
← S  1.340210°
E  7.047729°		 ← 610.68 m → S  1.340210°
E  7.053223°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.345701°
E  7.047729°		 ← 610.68 m →
372 920 m²		 S  1.345701°
E  7.053223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519584655761719 y=0.503730773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519584655761719 × 216)
    floor (0.519584655761719 × 65536)
    floor (34051.5)     		tx = 34051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503730773925781 × 216)
    floor (0.503730773925781 × 65536)
    floor (33012.5)     		ty = 33012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34051 / 33012 ti = "16/34051/33012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34051/33012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34051 ÷ 216
    34051 ÷ 65536     		x = 0.519577026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33012 ÷ 216
    33012 ÷ 65536     		y = 0.50372314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519577026367188 × 2 - 1) × π
    0.039154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12300608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50372314453125 × 2 - 1) × π
    -0.0074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0233932070145874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12300608} λ = 0.12300608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0233932070145874))-π/2
    2×atan(0.976878292847798)-π/2
    2×0.773702626556605-π/2
    1.54740525311321-1.57079632675     		φ = -0.02339107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12300608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.047729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02339107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.340210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34051 KachelY 33012 0.12300608 -0.02339107 7.047729 -1.340210
    Oben rechts KachelX + 1 34052 KachelY 33012 0.12310196 -0.02339107 7.053223 -1.340210
    Unten links KachelX 34051 KachelY + 1 33013 0.12300608 -0.02348692 7.047729 -1.345701
    Unten rechts KachelX + 1 34052 KachelY + 1 33013 0.12310196 -0.02348692 7.053223 -1.345701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02339107--0.02348692) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02339107--0.02348692) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12300608-0.12310196) × cos(-0.02339107) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999726441395423 × 6371000     		do = 610.68437632148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12300608-0.12310196) × cos(-0.02348692) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999724194973458 × 6371000     		du = 610.683004091299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02339107)-sin(-0.02348692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999726441395423-0.999724194973458)×R²
    abs(0.12310196-0.12300608)×2.24642196444691e-06×R²
    9.58799999999926e-05×2.24642196444691e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.24642196444691e-06×40589641000000     		ar = 372920.316286242m²