Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34047 / 33123
↖ ↑ ↗
← S  1.949697°
E  7.025757°		 ← 610.43 m → S  1.949697°
E  7.031250°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
S  1.955187°
E  7.025757°		 ← 610.43 m →
372 651 m²		 S  1.955187°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519523620605469 y=0.505424499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519523620605469 × 216)
    floor (0.519523620605469 × 65536)
    floor (34047.5)     		tx = 34047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505424499511719 × 216)
    floor (0.505424499511719 × 65536)
    floor (33123.5)     		ty = 33123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34047 / 33123 ti = "16/34047/33123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34047/33123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34047 ÷ 216
    34047 ÷ 65536     		x = 0.519515991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33123 ÷ 216
    33123 ÷ 65536     		y = 0.505416870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519515991210938 × 2 - 1) × π
    0.039031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12262259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505416870117188 × 2 - 1) × π
    -0.010833740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0340351987302399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12262259} λ = 0.12262259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0340351987302399))-π/2
    2×atan(0.966537483146617)-π/2
    2×0.768383848597468-π/2
    1.53676769719494-1.57079632675     		φ = -0.03402863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12262259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.025757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03402863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.949697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34047 KachelY 33123 0.12262259 -0.03402863 7.025757 -1.949697
    Oben rechts KachelX + 1 34048 KachelY 33123 0.12271846 -0.03402863 7.031250 -1.949697
    Unten links KachelX 34047 KachelY + 1 33124 0.12262259 -0.03412445 7.025757 -1.955187
    Unten rechts KachelX + 1 34048 KachelY + 1 33124 0.12271846 -0.03412445 7.031250 -1.955187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03402863--0.03412445) × R
    9.58200000000034e-05 × 6371000     		dl = 610.469220000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03402863--0.03412445) × R
    9.58200000000034e-05 × 6371000     		dr = 610.469220000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12262259-0.12271846) × cos(-0.03402863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999421082036454 × 6371000     		do = 610.43417398802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12262259-0.12271846) × cos(-0.03412445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99941781745429 × 6371000     		du = 610.432180021159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03402863)-sin(-0.03412445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999421082036454-0.99941781745429)×R²
    abs(0.12271846-0.12262259)×3.26458216470815e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.26458216470815e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26458216470815e-06×40589641000000     		ar = 372650.665713267m²