Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34035 / 33076
↖ ↑ ↗
← S  1.691649°
E  6.959839°		 ← 610.59 m → S  1.691649°
E  6.965332°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.697139°
E  6.959839°		 ← 610.58 m →
372 782 m²		 S  1.697139°
E  6.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519340515136719 y=0.504707336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519340515136719 × 216)
    floor (0.519340515136719 × 65536)
    floor (34035.5)     		tx = 34035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504707336425781 × 216)
    floor (0.504707336425781 × 65536)
    floor (33076.5)     		ty = 33076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34035 / 33076 ti = "16/34035/33076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34035/33076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34035 ÷ 216
    34035 ÷ 65536     		x = 0.519332885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33076 ÷ 216
    33076 ÷ 65536     		y = 0.50469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519332885742188 × 2 - 1) × π
    0.038665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12147210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.0093994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0295291301659546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12147210} λ = 0.12147210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0295291301659546))-π/2
    2×atan(0.970902594675544)-π/2
    2×0.770635743555317-π/2
    1.54127148711063-1.57079632675     		φ = -0.02952484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12147210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.959839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02952484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.691649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34035 KachelY 33076 0.12147210 -0.02952484 6.959839 -1.691649
    Oben rechts KachelX + 1 34036 KachelY 33076 0.12156798 -0.02952484 6.965332 -1.691649
    Unten links KachelX 34035 KachelY + 1 33077 0.12147210 -0.02962067 6.959839 -1.697139
    Unten rechts KachelX + 1 34036 KachelY + 1 33077 0.12156798 -0.02962067 6.965332 -1.697139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02952484--0.02962067) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02952484--0.02962067) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12147210-0.12156798) × cos(-0.02952484) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999564173572613 × 6371000     		do = 610.585254781849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12147210-0.12156798) × cos(-0.02962067) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999561340028556 × 6371000     		du = 610.583523907268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02952484)-sin(-0.02962067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999564173572613-0.999561340028556)×R²
    abs(0.12156798-0.12147210)×2.83354405672398e-06×R²
    9.58800000000065e-05×2.83354405672398e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.83354405672398e-06×40589641000000     		ar = 372781.876524077m²