Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34032 / 33128
↖ ↑ ↗
← S  1.977147°
E  6.943359°		 ← 610.49 m → S  1.977147°
E  6.948853°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
S  1.982636°
E  6.943359°		 ← 610.49 m →
372 645 m²		 S  1.982636°
E  6.948853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519294738769531 y=0.505500793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519294738769531 × 216)
    floor (0.519294738769531 × 65536)
    floor (34032.5)     		tx = 34032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505500793457031 × 216)
    floor (0.505500793457031 × 65536)
    floor (33128.5)     		ty = 33128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34032 / 33128 ti = "16/34032/33128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34032/33128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34032 ÷ 216
    34032 ÷ 65536     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33128 ÷ 216
    33128 ÷ 65536     		y = 0.5054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0345145677264404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0345145677264404))-π/2
    2×atan(0.966074266078352)-π/2
    2×0.76814430481957-π/2
    1.53628860963914-1.57079632675     		φ = -0.03450772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03450772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.977147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34032 KachelY 33128 0.12118448 -0.03450772 6.943359 -1.977147
    Oben rechts KachelX + 1 34033 KachelY 33128 0.12128036 -0.03450772 6.948853 -1.977147
    Unten links KachelX 34032 KachelY + 1 33129 0.12118448 -0.03460353 6.943359 -1.982636
    Unten rechts KachelX + 1 34033 KachelY + 1 33129 0.12128036 -0.03460353 6.948853 -1.982636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03450772--0.03460353) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03450772--0.03460353) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12128036) × cos(-0.03450772) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.99940466770967 × 6371000     		do = 610.487820389401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12128036) × cos(-0.03460353) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999401357594095 × 6371000     		du = 610.485798400403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03450772)-sin(-0.03460353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99940466770967-0.999401357594095)×R²
    abs(0.12128036-0.12118448)×3.31011557486161e-06×R²
    9.58800000000065e-05×3.31011557486161e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.31011557486161e-06×40589641000000     		ar = 372644.512522036m²