Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34032 / 33125
↖ ↑ ↗
← S  1.960677°
E  6.943359°		 ← 610.49 m → S  1.960677°
E  6.948853°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
S  1.966167°
E  6.943359°		 ← 610.49 m →
372 648 m²		 S  1.966167°
E  6.948853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519294738769531 y=0.505455017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519294738769531 × 216)
    floor (0.519294738769531 × 65536)
    floor (34032.5)     		tx = 34032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505455017089844 × 216)
    floor (0.505455017089844 × 65536)
    floor (33125.5)     		ty = 33125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34032 / 33125 ti = "16/34032/33125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34032/33125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34032 ÷ 216
    34032 ÷ 65536     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33125 ÷ 216
    33125 ÷ 65536     		y = 0.505447387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505447387695312 × 2 - 1) × π
    -0.010894775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0342269463287201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0342269463287201))-π/2
    2×atan(0.966352169672658)-π/2
    2×0.76828803061442-π/2
    1.53657606122884-1.57079632675     		φ = -0.03422027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03422027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.960677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34032 KachelY 33125 0.12118448 -0.03422027 6.943359 -1.960677
    Oben rechts KachelX + 1 34033 KachelY 33125 0.12128036 -0.03422027 6.948853 -1.960677
    Unten links KachelX 34032 KachelY + 1 33126 0.12118448 -0.03431608 6.943359 -1.966167
    Unten rechts KachelX + 1 34033 KachelY + 1 33126 0.12128036 -0.03431608 6.948853 -1.966167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03422027--0.03431608) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03422027--0.03431608) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12128036) × cos(-0.03422027) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999414543695998 × 6371000     		do = 610.493853150266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12128036) × cos(-0.03431608) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999411261104703 × 6371000     		du = 610.491847974516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03422027)-sin(-0.03431608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999414543695998-0.999411261104703)×R²
    abs(0.12128036-0.12118448)×3.28259129533937e-06×R²
    9.58800000000065e-05×3.28259129533937e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.28259129533937e-06×40589641000000     		ar = 372648.200083951m²