Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34029 / 33135
↖ ↑ ↗
← S  2.015576°
E  6.926880°		 ← 610.41 m → S  2.015576°
E  6.932373°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
S  2.021065°
E  6.926880°		 ← 610.41 m →
372 597 m²		 S  2.021065°
E  6.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519248962402344 y=0.505607604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519248962402344 × 216)
    floor (0.519248962402344 × 65536)
    floor (34029.5)     		tx = 34029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505607604980469 × 216)
    floor (0.505607604980469 × 65536)
    floor (33135.5)     		ty = 33135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34029 / 33135 ti = "16/34029/33135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34029/33135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34029 ÷ 216
    34029 ÷ 65536     		x = 0.519241333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33135 ÷ 216
    33135 ÷ 65536     		y = 0.505599975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519241333007812 × 2 - 1) × π
    0.038482666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12089686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505599975585938 × 2 - 1) × π
    -0.011199951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0351856843211212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12089686} λ = 0.12089686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0351856843211212))-π/2
    2×atan(0.965426135116741)-π/2
    2×0.767808950198463-π/2
    1.53561790039693-1.57079632675     		φ = -0.03517843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12089686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.926880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03517843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.015576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34029 KachelY 33135 0.12089686 -0.03517843 6.926880 -2.015576
    Oben rechts KachelX + 1 34030 KachelY 33135 0.12099273 -0.03517843 6.932373 -2.015576
    Unten links KachelX 34029 KachelY + 1 33136 0.12089686 -0.03527424 6.926880 -2.021065
    Unten rechts KachelX + 1 34030 KachelY + 1 33136 0.12099273 -0.03527424 6.932373 -2.021065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03517843--0.03527424) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03517843--0.03527424) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12089686-0.12099273) × cos(-0.03517843) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.999381302839591 × 6371000     		do = 610.409877341164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12089686-0.12099273) × cos(-0.03527424) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.999377928502404 × 6371000     		du = 610.407816337277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03517843)-sin(-0.03527424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999381302839591-0.999377928502404)×R²
    abs(0.12099273-0.12089686)×3.37433718777813e-06×R²
    9.58700000000118e-05×3.37433718777813e-06×6371000²
    9.58700000000118e-05×3.37433718777813e-06×40589641000000     		ar = 372596.923748428m²