Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34028 / 33142
↖ ↑ ↗
← S  2.054003°
E  6.921387°		 ← 610.40 m → S  2.054003°
E  6.926880°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
S  2.059493°
E  6.921387°		 ← 610.39 m →
372 588 m²		 S  2.059493°
E  6.926880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519233703613281 y=0.505714416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519233703613281 × 216)
    floor (0.519233703613281 × 65536)
    floor (34028.5)     		tx = 34028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505714416503906 × 216)
    floor (0.505714416503906 × 65536)
    floor (33142.5)     		ty = 33142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34028 / 33142 ti = "16/34028/33142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34028/33142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34028 ÷ 216
    34028 ÷ 65536     		x = 0.51922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33142 ÷ 216
    33142 ÷ 65536     		y = 0.505706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51922607421875 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505706787109375 × 2 - 1) × π
    -0.01141357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.035856800915802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12080099} λ = 0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.035856800915802))-π/2
    2×atan(0.964778438980649)-π/2
    2×0.767473603492958-π/2
    1.53494720698592-1.57079632675     		φ = -0.03584912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03584912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.054003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34028 KachelY 33142 0.12080099 -0.03584912 6.921387 -2.054003
    Oben rechts KachelX + 1 34029 KachelY 33142 0.12089686 -0.03584912 6.926880 -2.054003
    Unten links KachelX 34028 KachelY + 1 33143 0.12080099 -0.03594493 6.921387 -2.059493
    Unten rechts KachelX + 1 34029 KachelY + 1 33143 0.12089686 -0.03594493 6.926880 -2.059493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03584912--0.03594493) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03584912--0.03594493) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12080099-0.12089686) × cos(-0.03584912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999357489112777 × 6371000     		do = 610.395332207979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12080099-0.12089686) × cos(-0.03594493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999354050557409 × 6371000     		du = 610.393231980414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03584912)-sin(-0.03594493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999357489112777-0.999354050557409)×R²
    abs(0.12089686-0.12080099)×3.43855536788507e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.43855536788507e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43855536788507e-06×40589641000000     		ar = 372588.033347791m²