Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34028 / 33037
↖ ↑ ↗
← S  1.477497°
E  6.921387°		 ← 610.58 m → S  1.477497°
E  6.926880°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.482989°
E  6.921387°		 ← 610.58 m →
372 859 m²		 S  1.482989°
E  6.926880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519233703613281 y=0.504112243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519233703613281 × 216)
    floor (0.519233703613281 × 65536)
    floor (34028.5)     		tx = 34028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504112243652344 × 216)
    floor (0.504112243652344 × 65536)
    floor (33037.5)     		ty = 33037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34028 / 33037 ti = "16/34028/33037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34028/33037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34028 ÷ 216
    34028 ÷ 65536     		x = 0.51922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33037 ÷ 216
    33037 ÷ 65536     		y = 0.504104614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51922607421875 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504104614257812 × 2 - 1) × π
    -0.008209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0257900519955902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12080099} λ = 0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0257900519955902))-π/2
    2×atan(0.974539670791393)-π/2
    2×0.772504566633195-π/2
    1.54500913326639-1.57079632675     		φ = -0.02578719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02578719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.477497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34028 KachelY 33037 0.12080099 -0.02578719 6.921387 -1.477497
    Oben rechts KachelX + 1 34029 KachelY 33037 0.12089686 -0.02578719 6.926880 -1.477497
    Unten links KachelX 34028 KachelY + 1 33038 0.12080099 -0.02588304 6.921387 -1.482989
    Unten rechts KachelX + 1 34029 KachelY + 1 33038 0.12089686 -0.02588304 6.926880 -1.482989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02578719--0.02588304) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02578719--0.02588304) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12080099-0.12089686) × cos(-0.02578719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999667528840431 × 6371000     		do = 610.584700681844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12080099-0.12089686) × cos(-0.02588304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999665052820118 × 6371000     		du = 610.583188358919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02578719)-sin(-0.02588304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999667528840431-0.999665052820118)×R²
    abs(0.12089686-0.12080099)×2.4760203123364e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.4760203123364e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.4760203123364e-06×40589641000000     		ar = 372859.405550643m²