Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34027 / 33138
↖ ↑ ↗
← S  2.032045°
E  6.915893°		 ← 610.47 m → S  2.032045°
E  6.921387°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
S  2.037534°
E  6.915893°		 ← 610.47 m →
372 632 m²		 S  2.037534°
E  6.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519218444824219 y=0.505653381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519218444824219 × 216)
    floor (0.519218444824219 × 65536)
    floor (34027.5)     		tx = 34027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505653381347656 × 216)
    floor (0.505653381347656 × 65536)
    floor (33138.5)     		ty = 33138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34027 / 33138 ti = "16/34027/33138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34027/33138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34027 ÷ 216
    34027 ÷ 65536     		x = 0.519210815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33138 ÷ 216
    33138 ÷ 65536     		y = 0.505645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519210815429688 × 2 - 1) × π
    0.038421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12070511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.01129150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0354733057188416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12070511} λ = 0.12070511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0354733057188416))-π/2
    2×atan(0.965148497831489)-π/2
    2×0.767665229203775-π/2
    1.53533045840755-1.57079632675     		φ = -0.03546587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12070511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.915893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03546587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.032045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34027 KachelY 33138 0.12070511 -0.03546587 6.915893 -2.032045
    Oben rechts KachelX + 1 34028 KachelY 33138 0.12080099 -0.03546587 6.921387 -2.032045
    Unten links KachelX 34027 KachelY + 1 33139 0.12070511 -0.03556168 6.915893 -2.037534
    Unten rechts KachelX + 1 34028 KachelY + 1 33139 0.12080099 -0.03556168 6.921387 -2.037534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03546587--0.03556168) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03546587--0.03556168) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12070511-0.12080099) × cos(-0.03546587) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999371151951937 × 6371000     		do = 610.467347239099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12070511-0.12080099) × cos(-0.03556168) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999367750092348 × 6371000     		du = 610.465269208134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03546587)-sin(-0.03556168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999371151951937-0.999367750092348)×R²
    abs(0.12080099-0.12070511)×3.40185958935812e-06×R²
    9.58799999999926e-05×3.40185958935812e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.40185958935812e-06×40589641000000     		ar = 372631.998494126m²