Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34024 / 32616
↖ ↑ ↗
← N  0.834931°
E  6.899414°		 ← 610.79 m → N  0.834931°
E  6.904907°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
N  0.829439°
E  6.899414°		 ← 610.79 m →
373 022 m²		 N  0.829439°
E  6.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519172668457031 y=0.497688293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519172668457031 × 216)
    floor (0.519172668457031 × 65536)
    floor (34024.5)     		tx = 34024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497688293457031 × 216)
    floor (0.497688293457031 × 65536)
    floor (32616.5)     		ty = 32616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34024 / 32616 ti = "16/34024/32616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34024/32616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34024 ÷ 216
    34024 ÷ 65536     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32616 ÷ 216
    32616 ÷ 65536     		y = 0.4976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    0.004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0145728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0145728174844971))-π/2
    2×atan(1.01467951867147)-π/2
    2×0.792684314254583-π/2
    1.58536862850917-1.57079632675     		φ = 0.01457230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01457230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.834931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34024 KachelY 32616 0.12041749 0.01457230 6.899414 0.834931
    Oben rechts KachelX + 1 34025 KachelY 32616 0.12051337 0.01457230 6.904907 0.834931
    Unten links KachelX 34024 KachelY + 1 32617 0.12041749 0.01447644 6.899414 0.829439
    Unten rechts KachelX + 1 34025 KachelY + 1 32617 0.12051337 0.01447644 6.904907 0.829439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01457230-0.01447644) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01457230-0.01447644) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12051337) × cos(0.01457230) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999893825915231 × 6371000     		do = 610.786623403134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12051337) × cos(0.01447644) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999895218172386 × 6371000     		du = 610.787473865478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01457230)-sin(0.01447644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999893825915231-0.999895218172386)×R²
    abs(0.12051337-0.12041749)×1.39225715534153e-06×R²
    9.58799999999926e-05×1.39225715534153e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.39225715534153e-06×40589641000000     		ar = 373022.346423002m²