Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34022 / 32939
↖ ↑ ↗
← S  0.939289°
E  6.888427°		 ← 610.77 m → S  0.939289°
E  6.893921°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.944782°
E  6.888427°		 ← 610.77 m →
373 011 m²		 S  0.944782°
E  6.893921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519142150878906 y=0.502616882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519142150878906 × 216)
    floor (0.519142150878906 × 65536)
    floor (34022.5)     		tx = 34022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502616882324219 × 216)
    floor (0.502616882324219 × 65536)
    floor (32939.5)     		ty = 32939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34022 / 32939 ti = "16/34022/32939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34022/32939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34022 ÷ 216
    34022 ÷ 65536     		x = 0.519134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32939 ÷ 216
    32939 ÷ 65536     		y = 0.502609252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519134521484375 × 2 - 1) × π
    0.03826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12022574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502609252929688 × 2 - 1) × π
    -0.005218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0163944196700592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12022574} λ = 0.12022574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0163944196700592))-π/2
    2×atan(0.983739237421156)-π/2
    2×0.77720132074132-π/2
    1.55440264148264-1.57079632675     		φ = -0.01639369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12022574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.888427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01639369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.939289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34022 KachelY 32939 0.12022574 -0.01639369 6.888427 -0.939289
    Oben rechts KachelX + 1 34023 KachelY 32939 0.12032162 -0.01639369 6.893921 -0.939289
    Unten links KachelX 34022 KachelY + 1 32940 0.12022574 -0.01648955 6.888427 -0.944782
    Unten rechts KachelX + 1 34023 KachelY + 1 32940 0.12032162 -0.01648955 6.893921 -0.944782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01639369--0.01648955) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01639369--0.01648955) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12022574-0.12032162) × cos(-0.01639369) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999865626473574 × 6371000     		do = 610.769397732551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12022574-0.12032162) × cos(-0.01648955) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.99986405045089 × 6371000     		du = 610.768435016763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01639369)-sin(-0.01648955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999865626473574-0.99986405045089)×R²
    abs(0.12032162-0.12022574)×1.57602268346935e-06×R²
    9.58800000000065e-05×1.57602268346935e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.57602268346935e-06×40589641000000     		ar = 373011.272615771m²