Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34019 / 32934
↖ ↑ ↗
← S  0.911827°
E  6.871948°		 ← 610.77 m → S  0.911827°
E  6.877442°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.917319°
E  6.871948°		 ← 610.77 m →
373 014 m²		 S  0.917319°
E  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519096374511719 y=0.502540588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519096374511719 × 216)
    floor (0.519096374511719 × 65536)
    floor (34019.5)     		tx = 34019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502540588378906 × 216)
    floor (0.502540588378906 × 65536)
    floor (32934.5)     		ty = 32934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34019 / 32934 ti = "16/34019/32934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34019/32934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34019 ÷ 216
    34019 ÷ 65536     		x = 0.519088745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32934 ÷ 216
    32934 ÷ 65536     		y = 0.502532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519088745117188 × 2 - 1) × π
    0.038177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11993812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.00506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0159150506738586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11993812} λ = 0.11993812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0159150506738586))-π/2
    2×atan(0.984210924558984)-π/2
    2×0.77744097396464-π/2
    1.55488194792928-1.57079632675     		φ = -0.01591438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11993812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.871948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01591438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.911827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34019 KachelY 32934 0.11993812 -0.01591438 6.871948 -0.911827
    Oben rechts KachelX + 1 34020 KachelY 32934 0.12003400 -0.01591438 6.877442 -0.911827
    Unten links KachelX 34019 KachelY + 1 32935 0.11993812 -0.01601024 6.871948 -0.917319
    Unten rechts KachelX + 1 34020 KachelY + 1 32935 0.12003400 -0.01601024 6.877442 -0.917319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01591438--0.01601024) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01591438--0.01601024) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11993812-0.12003400) × cos(-0.01591438) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.99987336892727 × 6371000     		do = 610.77412722185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11993812-0.12003400) × cos(-0.01601024) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999871838845212 × 6371000     		du = 610.773192568961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01591438)-sin(-0.01601024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99987336892727-0.999871838845212)×R²
    abs(0.12003400-0.11993812)×1.53008205783234e-06×R²
    9.58800000000065e-05×1.53008205783234e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.53008205783234e-06×40589641000000     		ar = 373014.169598026m²