Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34017 / 32931
↖ ↑ ↗
← S  0.895349°
E  6.860962°		 ← 610.71 m → S  0.895349°
E  6.866455°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.900842°
E  6.860962°		 ← 610.71 m →
373 016 m²		 S  0.900842°
E  6.866455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519065856933594 y=0.502494812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519065856933594 × 216)
    floor (0.519065856933594 × 65536)
    floor (34017.5)     		tx = 34017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502494812011719 × 216)
    floor (0.502494812011719 × 65536)
    floor (32931.5)     		ty = 32931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34017 / 32931 ti = "16/34017/32931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34017/32931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34017 ÷ 216
    34017 ÷ 65536     		x = 0.519058227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32931 ÷ 216
    32931 ÷ 65536     		y = 0.502487182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519058227539062 × 2 - 1) × π
    0.038116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11974638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502487182617188 × 2 - 1) × π
    -0.004974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0156274292761383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11974638} λ = 0.11974638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0156274292761383))-π/2
    2×atan(0.984494045394611)-π/2
    2×0.777584766779696-π/2
    1.55516953355939-1.57079632675     		φ = -0.01562679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11974638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.860962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01562679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.895349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34017 KachelY 32931 0.11974638 -0.01562679 6.860962 -0.895349
    Oben rechts KachelX + 1 34018 KachelY 32931 0.11984225 -0.01562679 6.866455 -0.895349
    Unten links KachelX 34017 KachelY + 1 32932 0.11974638 -0.01572266 6.860962 -0.900842
    Unten rechts KachelX + 1 34018 KachelY + 1 32932 0.11984225 -0.01572266 6.866455 -0.900842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01562679--0.01572266) × R
    9.58699999999979e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01562679--0.01572266) × R
    9.58699999999979e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11974638-0.11984225) × cos(-0.01562679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999877904201793 × 6371000     		do = 610.713195379673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11974638-0.11984225) × cos(-0.01572266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999876401527443 × 6371000     		du = 610.712277564558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01562679)-sin(-0.01572266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999877904201793-0.999876401527443)×R²
    abs(0.11984225-0.11974638)×1.50267434961826e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.50267434961826e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50267434961826e-06×40589641000000     		ar = 373015.870706096m²