Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34016 / 32608
↖ ↑ ↗
← N  0.878872°
E  6.855469°		 ← 610.78 m → N  0.878872°
E  6.860962°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.873379°
E  6.855469°		 ← 610.78 m →
373 057 m²		 N  0.873379°
E  6.860962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519050598144531 y=0.497566223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519050598144531 × 216)
    floor (0.519050598144531 × 65536)
    floor (34016.5)     		tx = 34016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497566223144531 × 216)
    floor (0.497566223144531 × 65536)
    floor (32608.5)     		ty = 32608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34016 / 32608 ti = "16/34016/32608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34016/32608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34016 ÷ 216
    34016 ÷ 65536     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32608 ÷ 216
    32608 ÷ 65536     		y = 0.49755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.015339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.015339807878418))-π/2
    2×atan(1.01545806664644)-π/2
    2×0.793067766553878-π/2
    1.58613553310776-1.57079632675     		φ = 0.01533921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01533921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.878872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34016 KachelY 32608 0.11965050 0.01533921 6.855469 0.878872
    Oben rechts KachelX + 1 34017 KachelY 32608 0.11974638 0.01533921 6.860962 0.878872
    Unten links KachelX 34016 KachelY + 1 32609 0.11965050 0.01524334 6.855469 0.873379
    Unten rechts KachelX + 1 34017 KachelY + 1 32609 0.11974638 0.01524334 6.860962 0.873379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01533921-0.01524334) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01533921-0.01524334) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.11974638) × cos(0.01533921) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999882356625021 × 6371000     		do = 610.779617370235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.11974638) × cos(0.01524334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999883822542425 × 6371000     		du = 610.780512828051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01533921)-sin(0.01524334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999882356625021-0.999883822542425)×R²
    abs(0.11974638-0.11965050)×1.46591740457502e-06×R²
    9.58799999999926e-05×1.46591740457502e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.46591740457502e-06×40589641000000     		ar = 373056.994208093m²