Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33966 / 33966
↖ ↑ ↗
← S  6.566389°
E  6.580810°		 ← 606.84 m → S  6.566389°
E  6.586304°		 →
↑
606.77 m
↓
↑
606.77 m
↓
S  6.571846°
E  6.580810°		 ← 606.84 m →
368 215 m²		 S  6.571846°
E  6.586304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518287658691406 y=0.518287658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518287658691406 × 216)
    floor (0.518287658691406 × 65536)
    floor (33966.5)     		tx = 33966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518287658691406 × 216)
    floor (0.518287658691406 × 65536)
    floor (33966.5)     		ty = 33966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33966 / 33966 ti = "16/33966/33966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33966/33966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33966 ÷ 216
    33966 ÷ 65536     		x = 0.518280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33966 ÷ 216
    33966 ÷ 65536     		y = 0.518280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518280029296875 × 2 - 1) × π
    0.03656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11485681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.03656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.114856811489655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11485681} λ = 0.11485681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.114856811489655))-π/2
    2×atan(0.891493786435403)-π/2
    2×0.728095609566793-π/2
    1.45619121913359-1.57079632675     		φ = -0.11460511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11485681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.580810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11460511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.566389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33966 KachelY 33966 0.11485681 -0.11460511 6.580810 -6.566389
    Oben rechts KachelX + 1 33967 KachelY 33966 0.11495269 -0.11460511 6.586304 -6.566389
    Unten links KachelX 33966 KachelY + 1 33967 0.11485681 -0.11470035 6.580810 -6.571846
    Unten rechts KachelX + 1 33967 KachelY + 1 33967 0.11495269 -0.11470035 6.586304 -6.571846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11460511--0.11470035) × R
    9.52400000000103e-05 × 6371000     		dl = 606.774040000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11460511--0.11470035) × R
    9.52400000000103e-05 × 6371000     		dr = 606.774040000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11485681-0.11495269) × cos(-0.11460511) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993440019178765 × 6371000     		do = 606.844306006531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11485681-0.11495269) × cos(-0.11470035) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993429123560359 × 6371000     		du = 606.837650401902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11460511)-sin(-0.11470035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993440019178765-0.993429123560359)×R²
    abs(0.11495269-0.11485681)×1.08956184062814e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.08956184062814e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.08956184062814e-05×40589641000000     		ar = 368215.352260863m²